Questão (2(4,5)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar se a série
converge ou diverge sem usar o teste da razão ou da raiz. Vamos recorrer ao teste de comparação e ao fato de que séries geométricas e de potência convergem quando a razão é menor que 1.
converge ou diverge sem usar o teste da razão ou da raiz. Vamos recorrer ao teste de comparação e ao fato de que séries geométricas e de potência convergem quando a razão é menor que 1.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral como
e notamos que
, o que indica um decaimento de tipo geométrico multiplicado por
.
Passo 3
Para comparar, escolhemos uma série de referência mais simples, por exemplo
já que
. Então, para todo
, vale
Passo 4
Sabemos que, para todo
, a série de potências
converge (sua soma é
). Em particular, para
,
é convergente.
Passo 5
Pelo critério da comparação direta, como
e a série à direita converge, concluímos que
também converge.
também converge.
Resposta
A série
é convergente.