Questão (2(4,5)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se a série
sumn=1^inftyn,e^-n
converge ou diverge sem usar o teste da razão ou da raiz. Vamos recorrer ao teste de comparação e ao fato de que séries geométricas e de potência convergem quando a razão é menor que 1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como
n,e^-n=nl(1/er)^n
e notamos que 1/e<1, o que indica um decaimento de tipo geométrico multiplicado por n.

Passo 3

Para comparar, escolhemos uma série de referência mais simples, por exemplo
sumn=1^inftynl(tfrac12r)^n,
já que 1/e<1/2. Então, para todo n>=1, vale
l(1/er)^n<l(1/2r)^n Longrightarrow nl(1/er)^n<nl(1/2r)^n

Passo 4

Sabemos que, para todo rin(-1,1), a série de potências
sumn=1^inftyn,r^n
converge (sua soma é tfracr(1-r)^2). Em particular, para r=1/2,
sumn=1^inftynl(tfrac12r)^n
é convergente.

Passo 5

Pelo critério da comparação direta, como
0<= n,e^-n<nl(tfrac12r)^n
e a série à direita converge, concluímos que
sumn=1^inftyn,e^-n
também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn,e^-n é convergente.

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