Considere a função f: R^2 R, definida por f(x, y)=x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0.
a) Determine as funções partial fpartial x e partial fpartial y;
b) Decida se f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define
e pede (a) as derivadas parciais e em todo , e (b) se é diferenciável em . Para (a) usamos a regra do quociente quando e a definição de derivada no ponto . Para (b) aplicamos a definição de diferenciabilidade via aproximação linear.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) calculemos
partial fpartial x =partialpartial x!l(xyx^2+y^2r) =y,(x^2+y^2)-xycdot 2x(x^2+y^2)^2 =y^3 - x^2y(x^2+y^2)^2 =y,(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Analogamente, para (x,y)neq(0,0)
partial fpartial y =partialpartial y!l(xyx^2+y^2r) =x,(x^2+y^2)-xycdot 2y(x^2+y^2)^2 =x^3 - x y^2(x^2+y^2)^2 =x,(x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0) usamos a definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
e
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 5

Para verificar diferenciabilidade em (0,0) consideramos a aproximação linear L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0. A condição é
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0) xyx^2+y^2raizx^2+y^2 stackrel?=0

Passo 6

Na reta y=x temos f(x,x)=tfracx^22x^2=tfrac12. Então
f(x,x)-0raizx^2+x^2 =tfrac12raiz2,lvert xrvert longrightarrow +infty quando xto0,
logo o limite não é zero e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

a) Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =y,(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =x,(x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2
Em (0,0):
partial f/partial x(0,0)=0 e partial f/partial y(0,0)=0.
b) f não é diferenciável em (0,0).

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