Questão (2(4,5)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{2 n^{5}-1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty nraiz2 n^5-1
é convergente ou divergente, usando comparações em vez do teste da razão ou da raiz. O conteúdo envolvido é o teste de comparação para séries de termos não negativos e a convergência de séries do tipo 1/n^p.

Passo 2

Para comparar, note que para todo n>=1 temos
2,n^5 - 1 >= n^5,
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raiz2,n^5 - 1 >= raizn^5 = n^5/2
Assim o termo geral da série satisfaz
0 <= nraiz2,n^5 - 1 <= nn^5/2 = 1n^3/2

Passo 3

Sabemos que a série p-série
sumn=1^infty 1n^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=tfrac32>1, portanto
sumn=1^infty 1n^3/2
converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta, como
0 <= nraiz2,n^5 - 1 <= 1n^3/2
e a série maior converge, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty nraiz2 n^5-1 é convergente.

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