Questão (2(4,5)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{2 n^{5}-1}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{2 n^{5}-1}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, usando comparações em vez do teste da razão ou da raiz. O conteúdo envolvido é o teste de comparação para séries de termos não negativos e a convergência de séries do tipo
.
Passo 2
Para comparar, note que para todo
temos
logo
Assim o termo geral da série satisfaz
Passo 3
Sabemos que a série
-série
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, portanto
converge.
Passo 4
Pelo teste da comparação direta, como
e a série maior converge, a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.