3=Questão: Determino \int_{c} \vec{G} \cdot \overrightarrow{d l}, ande \vec{G}(x, y)=\left(2 x \operatorname{sen} y+x^{3}, x^{2} \cos y-y^{3}\right) e C admits a parametrizuçä \vec{\gamma}(t)=\left(\cos ^{3} t, \operatorname{sen}^{2} t\right), 0 \leqslant t \leqslant(\pi / 2).

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados.
  • O enunciado pede para determinar \displaystyle\int_{C} \vec{G}\cdot\overrightarrow{dl}.
  • A campo vetorial é \displaystyle \vec{G}(x,y)=\bigl(2x\sin y + x^{3},\; x^{2}\cos y - y^{3}\bigr). Vou chamar as componentes de P(x,y)=2x\sin y + x^{3},\qquad Q(x,y)=x^{2}\cos y - y^{3}.
  • A curva C tem parametrização \vec{\gamma}(t)=\bigl(\cos^{3}t,\;\sin^{2}t\bigr),\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
  • Então, em termos práticos, precisamos calcular a integral de linha de \vec{G} ao longo da curva que vai de \vec{\gamma}(0) até \vec{\gamma}(\pi/2).

Passo 2

Escolha do método e justificativa.
  • Dois métodos possíveis para \displaystyle\int_{C}\vec{G}\cdot d\vec{l}:
    1. Fazer a substituição direta pela parametrização: calcular \vec{G}(\vec{\gamma}(t)), \vec{\gamma}\,'(t), formar o produto escalar e integrar em t. Esse método sempre funciona, mas pode gerar integrais complicadas.
    2. Verificar se \vec{G} é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial F tal que \nabla F=\vec{G}). Se for, a integral de linha depende só dos pontos finais e vale F(\text{fim})-F(\text{início})í. Esse caminho costuma ser muito mais curto quando possível.
  • Vou tentar o método do campo conservativo porque, se \vec{G} for conservativo, evita integrar uma expressão possivelmente muito complicada (por exemplo, apareceria \sin(\sin^{2}t) na integração direta).
  • Primeiro verifico se \vec{G} é conservativo: para campos em \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo), basta checar se \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x.

Passo 3

Verificação de ser conservativo (cálculo das derivadas parciais).
  • Calculo \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=2x\sin y + x^{3}, temos \frac{\partial P}{\partial y}=2x\cos y.
  • Calculo \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=x^{2}\cos y - y^{3}, temos \frac{\partial Q}{\partial x}=2x\cos y.
  • Como \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2x\cos y para todos (x,y), e o domínio considerável é \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo), concluímos que \vec{G} é conservativo. Logo existe F(x,y) tal que \nabla F=\vec{G}.

Passo 4

Encontrar a função potencial F(x,y).
  • Se \nabla F=(F_x,F_y)=\vec{G}=(P,Q), então F_x(x,y)=P(x,y) e F_y(x,y)=Q(x,y).
  • Integro P em relação a x (tratando y como constante) para obter F até uma função de integração que depende só de y: F(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int\bigl(2x\sin y + x^{3}\bigr)\,dx.
  • Computando a integral: \int 2x\sin y\,dx = x^{2}\sin y\quad\text{(porque \(\sin y\) é constante em relação a \(x\))},éçã
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Assim
F(x,y)=x^{2}\sin y + \frac{x^{4}}{4} + h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y.
  • Agora determino h(y) exigindo que F_y=Q. Calculo F_y: F_{y}(x,y)=x^{2}\cos y + h'(y).Isso deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}\cos y - y^{3}. Então x^{2}\cos y + h'(y)=x^{2}\cos y - y^{3} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-y^{3}.
  • Integro h'(y) para achar h(y): h(y)=\int -y^{3}\,dy = -\frac{y^{4}}{4} + C,onde C é constante (que cancelará ao computar diferenças).
  • Portanto uma função potencial é F(x,y)=x^{2}\sin y + \frac{x^{4}}{4} - \frac{y^{4}}{4} + C.Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental das integrais de linha para campos conservativos.
  • Para um campo conservativo \vec{G}=\nabla F, a integral de linha ao longo de C parametrizada por \vec{\gamma}(t), t de a a b, vale \int_{C}\vec{G}\cdot d\vec{l}=F\bigl(\vec{\gamma}(b)\bigr)-F\bigl(\vec{\gamma}(a)\bigr).
  • Aqui a=0 e b=\pi/2. Então preciso calcular F nos pontos \vec{\gamma}(0) e \vec{\gamma}(\pi/2).

Passo 6

Avaliar F nos pontos inicial e final da curva.
  • Primeiro encontro os pontos: \vec{\gamma}(0)=\bigl(\cos^{3}0,\;\sin^{2}0\bigr)=(1,0),pois \cos 0=1 e \sin 0=0. \vec{\gamma}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)=\bigl(\cos^{3}\tfrac{\pi}{2},\;\sin^{2}\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(0,1),pois \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1.
  • Agora avalio F. Lembro que F(x,y)=x^{2}\sin y + \dfrac{x^{4}}{4} - \dfrac{y^{4}}{4}.
  • Calculo F\bigl(\vec{\gamma}(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=F(0,1): F(0,1)=0^{2}\sin 1 + \frac{0^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} = -\frac{1}{4}.
  • Calculo F\bigl(\vec{\gamma}(0)\bigr)=F(1,0): F(1,0)=1^{2}\sin 0 + \frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} = 0 + \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}.

Passo 7

Computar a integral como diferença das avaliações da potencial.
  • Pela propriedade do campo conservativo, \int_{C}\vec{G}\cdot d\vec{l}=F\bigl(\vec{\gamma}(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-F\bigl(\vec{\gamma}(0)\bigr)=\left(-\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{2}.
  • Observação didática: se tentássemos fazer a parametrização direta, teríamos que avaliar \int_{0}^{\pi/2}\vec{G}(\vec{\gamma}(t))\cdot\vec{\gamma}\,'(t)\,dt,e \vec{G}(\vec{\gamma}(t)) conteria termos como \sin(\sin^{2}t), que gerariam uma integral bem mais trabalhosa. Por isso o método pelo potencial é muito vantajoso quando o campo é conservativo.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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