3=Questão: Determino
, ande
e
admits a parametrizuçä
,
.
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados.
- O enunciado pede para determinar
. - A campo vetorial é
. Vou chamar as componentes de - A curva
tem parametrização - Então, em termos práticos, precisamos calcular a integral de linha de
ao longo da curva que vai de até .
Passo 2
Escolha do método e justificativa.
- Dois métodos possíveis para
: - Fazer a substituição direta pela parametrização: calcular
, , formar o produto escalar e integrar em . Esse método sempre funciona, mas pode gerar integrais complicadas. - Verificar se
é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial tal que ). Se for, a integral de linha depende só dos pontos finais e vale . Esse caminho costuma ser muito mais curto quando possível.
- Fazer a substituição direta pela parametrização: calcular
- Vou tentar o método do campo conservativo porque, se
for conservativo, evita integrar uma expressão possivelmente muito complicada (por exemplo, apareceria na integração direta). - Primeiro verifico se
é conservativo: para campos em (domínio simplesmente conexo), basta checar se .
Passo 3
Verificação de ser conservativo (cálculo das derivadas parciais).
- Calculo
. Como , temos - Calculo
. Como , temos - Como
para todos , e o domínio considerável é (que é simplesmente conexo), concluímos que é conservativo. Logo existe tal que .
Passo 4
Encontrar a função potencial
.
- Se
, então e . - Integro
em relação a (tratando como constante) para obter até uma função de integração que depende só de : - Computando a integral:
Assim
onde
é uma função que depende só de
.
- Agora determino
exigindo que . Calculo : Isso deve ser igual a . Então - Integro
para achar : onde é constante (que cancelará ao computar diferenças). - Portanto uma função potencial é
Podemos tomar sem perda de generalidade.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental das integrais de linha para campos conservativos.
- Para um campo conservativo
, a integral de linha ao longo de parametrizada por , de a , vale - Aqui
e . Então preciso calcular nos pontos e .
Passo 6
Avaliar
nos pontos inicial e final da curva.
- Primeiro encontro os pontos:
pois e . pois e . - Agora avalio
. Lembro que . - Calculo
: - Calculo
:
Passo 7
Computar a integral como diferença das avaliações da potencial.
- Pela propriedade do campo conservativo,
- Observação didática: se tentássemos fazer a parametrização direta, teríamos que avaliar
e conteria termos como , que gerariam uma integral bem mais trabalhosa. Por isso o método pelo potencial é muito vantajoso quando o campo é conservativo.