O Sr. Martins deve \mathrm{R} \ 450,00 com vencimento a 4 meses e\mathrm{R} $600,00 com vencimento a 6 meses. Se o dinheiro vale5 % a.a. qual o pagamento único efetuado hoje que liquidaria os dois débitos? Usar a data de hoje como data de avaliação. R.: R\úéçã 1.027,99.

Passo 1

O enunciado pede o pagamento único, efetuado hoje (data de avaliação), que liquida duas dívidas futuras. Pergunta concreta: “qual o pagamento único efetuado hoje que liquidaria os dois débitos?”
Dados fornecidos:
  • dívida 1: \mathrm{R}\$\,450,00 com vencimento em 4 meses;
  • dívida 2: \mathrm{R}\$\,600,00 com vencimento em 6 meses;
  • taxa de juros: 5\% ao ano.
    A tarefa é trazer ambos os valores ao valor presente (hoje) usando a taxa dada e somá-los para obter o pagamento único.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e amigável): valor presente e desconto por juros compostos.
Quando temos um valor futuro \mathrm{FV} que será pago em t anos e a taxa de juros é i (ao ano, compostos), o valor presente \mathrm{PV} é dado por:
\mathrm{PV}=\mathrm{FV}\,(1+i)^{-t}.
O que cada símbolo significa:
  • \mathrm{PV} = valor hoje que equivale a \mathrm{FV} no futuro;
  • \mathrm{FV} = valor a ser pago no futuro;
  • i = taxa de juros por período (aqui: por ano);
  • t = tempo em anos entre hoje e o pagamento.
    Raciocínio: (1+i)^t é o fator que transforma um capital hoje no seu montante no futuro; portanto, para voltar do futuro para hoje dividimos por esse fator, ou multiplicamos por (1+i)^{-t}.

Passo 3

Aplicando ao primeiro débito ( \mathrm{R}\$\,450 em 4 meses). Primeiro convertemos meses em anos:
t_1=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\\ \text{ano}.
Usamos i=0{,}05 (que é 5\% ao ano em forma decimal). O valor presente de \mathrm{R}\$\,450 é
\mathrm{PV}_1=450\,(1+0{,}05)^{-1/3}.
Agora calculamos o fator (1+0{,}05)^{1/3} e seu inverso. Vamos obter o valor numérico com precisão suficiente.

Passo 4

Cálculo numérico de \mathrm{PV}_1.
Calculemos o fator:
(1+0{,}05)^{1/3}=(1{,}05)^{1/3}\approx 1{,}016396349.
O inverso é
(1{,}05)^{-1/3}\approx 0{,}983872.
Portanto
\mathrm{PV}_1=450\times 0{,}983872\approx 442{,}74\\ (\text{em reais, arredondando para centavos}).
Explicação prática: isso quer dizer que pagar hoje cerca de \mathrm{R}\$\,442{,}74 é equivalente a pagar \mathrm{R}\$\,450 daqui a 4 meses, ao custo de juros de 5\% ao ano.

Passo 5

Aplicando ao segundo débito ( \mathrm{R}\$\,600 em 6 meses). Convertemos:
t_2=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\\ \text{ano}.
Valor presente:
\mathrm{PV}_2=600\,(1+0{,}05)^{-1/2}.

Passo 6

Cálculo numérico de \mathrm{PV}_2.
Calculemos o fator:
(1{,}05)^{1/2}=\sqrt{1{,}05}\approx 1{,}024695076.
O inverso é
(1{,}05)^{-1/2}\approx 0{,}975893978.
Portanto
\mathrm{PV}_2=600\times 0{,}975893978\approx 585{,}54\\ (\text{em reais, arredondando para centavos}).
Interpretação: pagar hoje cerca de \mathrm{R}\$\,585{,}54 equivale a pagar \mathrm{R}\$\,600 daqui a 6 meses com juros de 5\% a.a.

Passo 7

Somando os valores presentes para obter o pagamento único hoje que quita as duas dívidas:
\mathrm{PV}_{\text{total}}=\mathrm{PV}_1+\mathrm{PV}_2\approx 442{,}74+585{,}54=1\,028{,}28.
Comentário simpático: é como somar duas parcelas trazidas para hoje. A diferença em relação ao valor futuro total \mathrm{R}\$\,1.050 vem justamente do desconto por juros (você paga menos hoje do que os valores somados no futuro).

Resposta

R\$\,1.028,28

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