Para o comprador de determinado bem, qual é a melhor oferta:
20.000,00
30.000,00
30.000,00
20.000,00 \mathrm{em}
6 %$ a.a. e comparar na data da compra o valor de cada oferta. R.: A segunda oferta é melhor.
Passo 1
O enunciado pergunta qual das duas ofertas é melhor para o comprador, avaliando-as na data da compra (tempo zero). Os dados são:
- Oferta A: entrada de
imediata e daqui a 6 meses. - Oferta B: entrada de
imediata e daqui a 1 ano. - Taxa de juros (valor do dinheiro):
ao ano, ou seja ao ano.
O que pedimos: comparar, na data da compra, o valor presente (quanto vale hoje) de cada oferta e decidir qual é melhor para o comprador.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (muito importante para a prova): valor presente (PV). Quando você tem um pagamento futuro, para saber quanto ele “vale hoje” desconta-se a uma taxa de juros. A fórmula básica é:
onde:
-
é o valor presente (quanto vale hoje); -
é o valor futuro (o pagamento que ocorrerá no tempo ); -
é a taxa de juros por período (aqui ao ano, ); -
é o tempo até o pagamento, em anos (por exemplo, 6 meses ano).
Explicando bem na boa: para trazer
daqui a
anos para hoje, você divide por
. Se
for fracionário (meio ano), usa-se
. É exatamente isso que faremos para cada parcela futura e somaremos ao que já é pago agora.
Passo 3
Calcular o valor presente da Oferta A (primeira oferta).
Escrevo a soma do que é pago agora mais o PV da parcela a 6 meses:
Agora calculamos
. Isso é a raiz quadrada de
. Uma boa aproximação (ou uma calculadora) dá:
Logo o fator de desconto para 6 meses é
Multiplicando:
Somando a entrada imediata:
(Arredondei centavos de forma usuária para ficar legível; na prova mantenha pelo menos 2 casas decimais.)
Passo 4
Calcular o valor presente da Oferta B (segunda oferta).
Escrevo a soma do que é pago agora mais o PV da parcela a 1 ano:
Aqui
, então
Somando a entrada imediata:
Passo 5
Comparação e interpretação.
Para o comprador, a oferta com menor valor presente é melhor (ele desembolsa, em termos de valor hoje, menos). A diferença é
ou seja, a Oferta B é cerca de
mais barata em valor presente. Conclusão: a segunda oferta é melhor.
Um truque para a prova: sempre traga TODOS os pagamentos ao mesmo instante (normalmente tempo zero) com a fórmula de PV; compare os somatórios. Se tiver parcelas em 6 meses use
; em 3 meses
; e assim por diante.
Resposta
A segunda oferta é melhor.