Para o comprador de determinado bem, qual é a melhor oferta: \mathrm{R} \ 20.000,00 de entrada e30.000,00 em 6 meses ou30.000,00 de entrada e20.000,00 \mathrm{em} um ano? Supor que o dinheiro vale6 %$ a.a. e comparar na data da compra o valor de cada oferta. R.: A segunda oferta é melhor.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das duas ofertas é melhor para o comprador, avaliando-as na data da compra (tempo zero). Os dados são:
  • Oferta A: entrada de R\$\,20.000,00 imediata e R\$\,30.000,00 daqui a 6 meses.
  • Oferta B: entrada de R\$\,30.000,00 imediata e R\$\,20.000,00 daqui a 1 ano.
  • Taxa de juros (valor do dinheiro): 6\% ao ano, ou seja i=0,06 ao ano.
O que pedimos: comparar, na data da compra, o valor presente (quanto vale hoje) de cada oferta e decidir qual é melhor para o comprador.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (muito importante para a prova): valor presente (PV). Quando você tem um pagamento futuro, para saber quanto ele “vale hoje” desconta-se a uma taxa de juros. A fórmula básica é:
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+i)^{t}}
onde:
  • \text{PV} é o valor presente (quanto vale hoje);
  • \text{FV} é o valor futuro (o pagamento que ocorrerá no tempo t);
  • i é a taxa de juros por período (aqui ao ano, i=0,06);
  • t é o tempo até o pagamento, em anos (por exemplo, 6 meses =0,5 ano).
Explicando bem na boa: para trazer R\$\,X daqui a t anos para hoje, você divide por (1+i)^t. Se t for fracionário (meio ano), usa-se t=0,5. É exatamente isso que faremos para cada parcela futura e somaremos ao que já é pago agora.

Passo 3

Calcular o valor presente da Oferta A (primeira oferta).
Escrevo a soma do que é pago agora mais o PV da parcela a 6 meses:
\text{PV}_A = R\$\,20.000,00 + \frac{R\$\,30.000,00}{(1+0,06)^{0,5}}
Agora calculamos (1+0,06)^{0,5}. Isso é a raiz quadrada de 1,06. Uma boa aproximação (ou uma calculadora) dá:
(1+0,06)^{0,5} \approx 1,029563
Logo o fator de desconto para 6 meses é
\frac{1}{(1+0,06)^{0,5}} \approx 0,97129.
Multiplicando:
\frac{R\$\,30.000,00}{(1+0,06)^{0,5}} \approx R\$\,30.000,00 \times 0,97129 \approx R\$\,29.138,70.
Somando a entrada imediata:
\text{PV}_A \approx R\$\,20.000,00 + R\$\,29.138,70 = R\$\,49.138,70.
(Arredondei centavos de forma usuária para ficar legível; na prova mantenha pelo menos 2 casas decimais.)

Passo 4

Calcular o valor presente da Oferta B (segunda oferta).
Escrevo a soma do que é pago agora mais o PV da parcela a 1 ano:
\text{PV}_B = R\$\,30.000,00 + \frac{R\$\,20.000,00}{(1+0,06)^{1}}
Aqui (1+0,06)^{1}=1,06, então
\frac{R\$\,20.000,00}{1,06} \approx R\$\,18.867,92.
Somando a entrada imediata:
\text{PV}_B \approx R\$\,30.000,00 + R\$\,18.867,92 = R\$\,48.867,92.

Passo 5

Comparação e interpretação.
  • \text{PV}_A \approx R\$\,49.138,70
  • \text{PV}_B \approx R\$\,48.867,92
Para o comprador, a oferta com menor valor presente é melhor (ele desembolsa, em termos de valor hoje, menos). A diferença é
\text{PV}_A - \text{PV}_B \approx R\$\,49.138,70 - R\$\,48.867,92 = R\$\,270,78,
ou seja, a Oferta B é cerca de R\$\,270,78 mais barata em valor presente. Conclusão: a segunda oferta é melhor.
Um truque para a prova: sempre traga TODOS os pagamentos ao mesmo instante (normalmente tempo zero) com a fórmula de PV; compare os somatórios. Se tiver parcelas em 6 meses use t=0,5; em 3 meses t=0,25; e assim por diante.

Resposta

A segunda oferta é melhor.

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