Questão 2. Um disco plástico de raio R possui uma densidade de carga superficial -\sigma, isto é, encontra-se carregado negativamente. Determine:
(a) 0 vetor campo elétrico ao longo do eixo x (eixo de simetria do disco);
(b) A que distância x 0, ao longo do eixo x, o módulo do campo elétrico é igual à metade do seu valor no centro da superfície do disco?

Passo 1

O enunciado dá um disco plástico de raio R carregado negativamente, com densidade superficial de carga igual a -\sigma (aqui \sigma>0 é o módulo da densidade). O eixo x é o eixo de simetria, perpendicular ao plano do disco e com origem no centro do disco. As perguntas são:
  • (a) Determinar o vetor campo elétrico ao longo do eixo x (para um ponto a uma distância x do centro, no eixo).
  • (b) Determinar a distância x_0 (no eixo x, x_0>0) tal que o módulo do campo elétrico em x_0 seja a metade do módulo do campo elétrico no centro da superfície do disco (isto é, metade de |\vec E(0)|).
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio do disco: R.
  • Densidade superficial: -\sigma (carga negativa).
  • Ponto onde se quer o campo: qualquer posição sobre o eixo, coordenada x (medida a partir do plano do disco).
  • Pedido: expressão vetorial \vec E(x) e valor de x_0 tal que |\vec E(x_0)|=\tfrac{1}{2}|\vec E(0)|.

Passo 2

Estratégia de cálculo (descrita sem resolver ainda): por simetria o campo no eixo é perpendicular ao plano do disco e tem apenas componente ao longo de \hat x. Divide-se o disco em anéis coaxiais de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga dq proporcional à densidade superficial e contribui com um campo cujo componente ao longo de x pode ser calculado usando a lei de Coulomb e o cosseno do ângulo entre a direção da contribuição e o eixo. Depois integra-se sobre r de 0 a R.
Definições de variáveis usadas:
  • r: raio do anel diferencial no disco (variável de integração).
  • dr: espessura radial do anel.
  • dq: carga do anel diferencial.
  • \varepsilon_0: permissividade do vácuo.
  • \hat x: versor ao longo do eixo x, apontando para x>0.

Passo 3

Expressar a carga do anel e a contribuição diferencial de campo.
A área de um anel de raio r e espessura dr é dA = 2\pi r\,dr. Como a densidade superficial é -\sigma, a carga do anel é
dq = (-\sigma)\,dA = -\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
A distância do anel (num ponto do anel) até o ponto sobre o eixo a distância x do plano é \sqrt{x^2+r^2}. A contribuição de módulo do campo do anel inteiro ao ponto sobre o eixo é obtida somando as contribuições dos elementos do anel: por simetria só sobra a componente ao longo de x. Usando a lei de Coulomb e o fator de projeção \cos\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}, a componente diferencial do campo ao longo de x é
dE_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{x^2+r^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}.
Substituindo dq:
dE_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{-\sigma\cdot 2\pi r\,dr}{x^2+r^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}} = -\frac{\sigma x}{2\varepsilon_0}\,\frac{r\,dr}{(x^2+r^2)^{3/2}}.
Agora integramos r de 0 a R para obter a componente total E_x(x):
E_x(x)=\int_{0}^{R} dE_x = -\frac{\sigma x}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(x^2+r^2)^{3/2}}.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(x^2+r^2)^{3/2}}.
Faça a substituição u=x^2+r^2. Então du=2r\,dr, ou r\,dr=\dfrac{du}{2}. Quando r=0 tem u=x^2; quando r=R tem u=x^2+R^2. Assim
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(x^2+r^2)^{3/2}} = \frac{1}{2}\int_{x^2}^{x^2+R^2} u^{-3/2}\,du.
Calcule a primitiva: \displaystyle \int u^{-3/2}\,du = -2u^{-1/2}. Portanto
\frac{1}{2}\int_{x^2}^{x^2+R^2} u^{-3/2}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-2u^{-1/2}\bigr]_{x^2}^{x^2+R^2} = -\bigl[u^{-1/2}\bigr]_{x^2}^{x^2+R^2} = -\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2}}\right).
Para x>0 temos \sqrt{x^2}=x, então a integral vale \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}.
Substituindo na expressão de E_x(x):
E_x(x) = -\frac{\sigma x}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}\right) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right).
Como por simetria o campo tem apenas componente ao longo de \hat x, o vetor campo é
\vec E(x) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\hat x.
Comentário físico curto (para entender a direção): o sinal negativo aparece porque a densidade dada é -\sigma (carga negativa); para x>0 o campo aponta para -\hat x (atrai cargas positivas para o disco).

Passo 5

Agora resolvemos (b): primeiro calculamos o módulo do campo no centro da superfície do disco ( x=0). Da expressão encontrada,
\vec E(0) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{0}{\sqrt{0+R^2}}\right)\hat x = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat x.
Logo o módulo é |\vec E(0)|=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Queremos x_0>0 tal que |\vec E(x_0)|=\tfrac{1}{2}|\vec E(0)|=\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}. O módulo do campo em x (para x\ge0) é
|\vec E(x)|=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right).
Impondo a condição:
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+R^2}}\right)=\frac{\sigma}{4\varepsilon_0}.
Cancelando o fator \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} (positivo), obtemos
1-\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+R^2}}=\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+R^2}}=\frac{1}{2}.
Eleve ao quadrado ambos os lados:
\frac{x_0^2}{x_0^2+R^2}=\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad 4x_0^2 = x_0^2+R^2 \quad\Rightarrow\quad 3x_0^2 = R^2.
Portanto
x_0 = \frac{R}{\sqrt{3}}\quad(\text{escolhendo }x_0>0).

Resposta

(a) \displaystyle \vec E(x) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\hat x
(b) \displaystyle x_0=\frac{R}{\sqrt{3}}

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