Questão 2. Um disco plástico de raio R possui uma densidade de carga superficial -\sigma, isto é, encontra-se carregado negativamente. Determine:
(a) 0 vetor campo elétrico ao longo do eixo x (eixo de simetria do disco);
(b) A que distância x 0, ao longo do eixo x, o módulo do campo elétrico é igual à metade do seu valor no centro da superfície do disco?
Passo 1
O enunciado dá um disco plástico de raio R carregado negativamente, com densidade superficial de carga igual a -\sigma (aqui \sigma>0 é o módulo da densidade). O eixo x é o eixo de simetria, perpendicular ao plano do disco e com origem no centro do disco. As perguntas são:
(a) Determinar o vetor campo elétrico ao longo do eixo x (para um ponto a uma distância x do centro, no eixo).
(b) Determinar a distância x_0 (no eixo x, x_0>0) tal que o módulo do campo elétrico em x_0 seja a metade do módulo do campo elétrico no centro da superfície do disco (isto é, metade de |\vec E(0)|).
Informações relevantes fornecidas:
Raio do disco: R.
Densidade superficial: -\sigma (carga negativa).
Ponto onde se quer o campo: qualquer posição sobre o eixo, coordenada x (medida a partir do plano do disco).
Pedido: expressão vetorial \vec E(x) e valor de x_0 tal que |\vec E(x_0)|=\tfrac{1}{2}|\vec E(0)|.
Passo 2
Estratégia de cálculo (descrita sem resolver ainda): por simetria o campo no eixo é perpendicular ao plano do disco e tem apenas componente ao longo de \hat x. Divide-se o disco em anéis coaxiais de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga dq proporcional à densidade superficial e contribui com um campo cujo componente ao longo de x pode ser calculado usando a lei de Coulomb e o cosseno do ângulo entre a direção da contribuição e o eixo. Depois integra-se sobre r de 0 a R.
Definições de variáveis usadas:
r: raio do anel diferencial no disco (variável de integração).
dr: espessura radial do anel.
dq: carga do anel diferencial.
\varepsilon_0: permissividade do vácuo.
\hat x: versor ao longo do eixo x, apontando para x>0.
Passo 3
Expressar a carga do anel e a contribuição diferencial de campo.
A área de um anel de raio r e espessura dr é dA = 2\pi r\,dr. Como a densidade superficial é -\sigma, a carga do anel é
dq = (-\sigma)\,dA = -\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
A distância do anel (num ponto do anel) até o ponto sobre o eixo a distância x do plano é \sqrt{x^2+r^2}. A contribuição de módulo do campo do anel inteiro ao ponto sobre o eixo é obtida somando as contribuições dos elementos do anel: por simetria só sobra a componente ao longo de x. Usando a lei de Coulomb e o fator de projeção \cos\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}, a componente diferencial do campo ao longo de x é
Comentário físico curto (para entender a direção): o sinal negativo aparece porque a densidade dada é -\sigma (carga negativa); para x>0 o campo aponta para -\hat x (atrai cargas positivas para o disco).
Passo 5
Agora resolvemos (b): primeiro calculamos o módulo do campo no centro da superfície do disco (x=0). Da expressão encontrada,
\vec E(0) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{0}{\sqrt{0+R^2}}\right)\hat x = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat x.
Logo o módulo é |\vec E(0)|=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Queremos x_0>0 tal que |\vec E(x_0)|=\tfrac{1}{2}|\vec E(0)|=\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}. O módulo do campo em x (para x\ge0) é