Mostre que um elemento de torque d \vec{\tau} sobre um elemento de circuito \partial S pode ser escrito como
d \vec{\tau}=I \vec{r} \times(d \vec{r} \times \vec{B})

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o elemento de torque sobre um elemento do circuito pode ser escrito como
d \vec{\tau}=I \vec{r} \times(d \vec{r} \times \vec{B}).
Dados e notação (lista do que está sendo usado):
  • I é a intensidade de corrente que percorre o circuito.
  • \vec{r} é o vetor posição do elemento de circuito em relação ao ponto onde medimos o torque (normalmente a origem).
  • d\vec{r} é o vetor deslocamento ao longo do fio correspondente ao elemento de circuito (tem direção do fluxo de corrente).
  • \vec{B} é o campo magnético no ponto do elemento.
  • O objetivo é relacionar o torque infinitesimal d\vec{\tau} com esses vetores, usando as leis da força magnética sobre cargas em movimento.

Passo 2

Força magnética sobre uma carga em movimento (recapitulando a física básica usada aqui).
A força de Lorentz sobre uma carga elétrica dq que se move com velocidade \vec{v} num campo magnético \vec{B} é
d\vec{F}=dq\,\vec{v}\times\vec{B}.
Expliquei o que é cada símbolo: dq é uma carga muito pequena; \vec{v} é sua velocidade no ponto; o produto vetorial \times dá uma força perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B}.

Passo 3

Passagem da descrição em cargas à descrição em corrente (como se usa em circuitos).
A corrente I é a razão entre carga que passa por um ponto e o tempo: I=\dfrac{dq}{dt}. O deslocamento do elemento no intervalo dt é d\vec{r}=\vec{v}\,dt. Multiplicando as duas relações:
dq\,\vec{v}=I\,d\vec{r}.
Substituindo isso em d\vec{F}=dq\,\vec{v}\times\vec{B} obtemos a força magnética sobre o elemento de fio:
d\vec{F}=I\,d\vec{r}\times\vec{B}.
Isto é uma forma padrão: a força sobre um elemento de corrente I d\vec{r} é I d\vec{r}\times\vec{B}. Faça um desenho mental: d\vec{r} aponta no sentido da corrente; a força é perpendicular aos dois, orientada pela regra da mão direita.

Passo 4

Definição de torque e substituição para obter a expressão pedida.
O torque infinitesimal (momento da força) em relação à origem devido à força d\vec{F} aplicada no ponto com vetor posição \vec{r} é definido por
d\vec{\tau}=\vec{r}\times d\vec{F}.
Substituindo d\vec{F}=I\,d\vec{r}\times\vec{B} obtemos
d\vec{\tau}=\vec{r}\times\bigl(I\,d\vec{r}\times\vec{B}\bigr).
Como I é escalar pode ser tirado fora do produto vetorial:
d\vec{\tau}=I\,\vec{r}\times\bigl(d\vec{r}\times\vec{B}\bigr).
E pronto: esta é exatamente a expressão que se pedia.

Passo 5

Observações didáticas e interpretação (para usar na prova).
  1. Significado: a expressão diz que o momento (torque) infinitesimal é o produto vetorial do vetor posição com a força magnética aplicada ao elemento de corrente. Tudo coerente com a definição física de torque.
  2. Identidade do produto vetorial em tripla forma (útil para manipular a expressão):
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Aplicando com \vec{a}=\vec{r}, \vec{b}=d\vec{r}, \vec{c}=\vec{B} obtém-se a forma expandida
\vec{r}\times(d\vec{r}\times\vec{B})=d\vec{r}\,(\vec{r}\cdot\vec{B})-\vec{B}\,(\vec{r}\cdot d\vec{r}).
Isto é útil para integrações ao longo do contorno. Por exemplo, para o torque total sobre um circuito fechado \tau=I\oint \vec{r}\times(d\vec{r}\times\vec{B}) a segunda parcela some porque \oint \vec{r}\cdot d\vec{r}=\tfrac{1}{2}\oint d(\vec{r}\cdot\vec{r})=0, o que simplifica algumas contas e conduz, no caso de laços planos em \vec{B} uniforme, à forma usual \vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B} com \vec{m}=I\vec{S} (momento magnético).

Resposta

d \vec{\tau}=I \vec{r} \times(d \vec{r} \times \vec{B})

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