Mostre que um elemento de torque
sobre um elemento de circuito
pode ser escrito como
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o elemento de torque sobre um elemento do circuito pode ser escrito como
Dados e notação (lista do que está sendo usado):
-
é a intensidade de corrente que percorre o circuito. -
é o vetor posição do elemento de circuito em relação ao ponto onde medimos o torque (normalmente a origem). -
é o vetor deslocamento ao longo do fio correspondente ao elemento de circuito (tem direção do fluxo de corrente). -
é o campo magnético no ponto do elemento. - O objetivo é relacionar o torque infinitesimal
com esses vetores, usando as leis da força magnética sobre cargas em movimento.
Passo 2
Força magnética sobre uma carga em movimento (recapitulando a física básica usada aqui).
A força de Lorentz sobre uma carga elétrica
que se move com velocidade
num campo magnético
é
Expliquei o que é cada símbolo:
é uma carga muito pequena;
é sua velocidade no ponto; o produto vetorial
dá uma força perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 3
Passagem da descrição em cargas à descrição em corrente (como se usa em circuitos).
A corrente
é a razão entre carga que passa por um ponto e o tempo:
. O deslocamento do elemento no intervalo
é
. Multiplicando as duas relações:
Substituindo isso em
obtemos a força magnética sobre o elemento de fio:
Isto é uma forma padrão: a força sobre um elemento de corrente
é
. Faça um desenho mental:
aponta no sentido da corrente; a força é perpendicular aos dois, orientada pela regra da mão direita.
Passo 4
Definição de torque e substituição para obter a expressão pedida.
O torque infinitesimal (momento da força) em relação à origem devido à força
aplicada no ponto com vetor posição
é definido por
Substituindo
obtemos
Como
é escalar pode ser tirado fora do produto vetorial:
E pronto: esta é exatamente a expressão que se pedia.
Passo 5
Observações didáticas e interpretação (para usar na prova).
-
Significado: a expressão diz que o momento (torque) infinitesimal é o produto vetorial do vetor posição com a força magnética aplicada ao elemento de corrente. Tudo coerente com a definição física de torque.
-
Identidade do produto vetorial em tripla forma (útil para manipular a expressão):
Aplicando com
,
,
obtém-se a forma expandida
Isto é útil para integrações ao longo do contorno. Por exemplo, para o torque total sobre um circuito fechado
a segunda parcela some porque
, o que simplifica algumas contas e conduz, no caso de laços planos em
uniforme, à forma usual
com
(momento magnético).