Questão 5. A distribuição de velocidade em um rio muito largo de 3,0 \mathrm{~m} de profundidade pode ser aproximado pela equação \mathrm{v}=0,5+(\mathrm{y} / 3)^{0,5} \mathrm{com} \mathrm{v}(\mathrm{m} / \mathrm{s}) e \mathrm{y}(\mathrm{m}), em que y é a ordenada medida a partir do fundo. Determine os coeficientes ’ \alpha ’ e ’ \beta ’ analiticamente. [R: \alpha=1,12 e \beta=1,04 ]
Passo 1
O enunciado pede que eu determine analiticamente os coeficientes \alpha e \beta para um rio muito largo de profundidade 3{,}0\:\mathrm{m}, cuja distribuição de velocidade em função da ordenada y (medida a partir do fundo) é
v(y)=0{,}5+\left(\dfrac{y}{3}\right)^{1/2},
onde v está em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}.
Informações relevantes dadas:
profundidade total H=3{,}0\:\mathrm{m};
perfil de velocidade v(y) como acima;
o rio é “muito largo” (largura muito maior que a profundidade), o que permite tratar integrais na seção transversal como integrais apenas em y (a largura cancela nas razões).
O que se pede: calcular analiticamente os valores de \alpha e \beta.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que são \alpha e \beta (definições físicas e matemáticas) e por que aparecem. Quando a velocidade não é uniforme na seção, para corrigir termos de energia cinética e de quantidade de movimento usa-se:
onde A é a área da seção transversal e \bar v é a velocidade média definida por
\bar v=\dfrac{1}{A}\displaystyle\int_A v\, dA.
Interpretação curta: \alpha corrige a energia cinética média (envolve v^3), \beta corrige o termo de momento (envolve v^2).
Passo 3
Como o rio é muito largo a área da seção A é b\cdot H (com b a largura) e todas as integrais sobre A reduzem a b vezes integrais sobre y. Assim o fator b cancela nas razões e podemos trabalhar apenas com integrais por unidade de largura. Portanto, com H=3,