Questão 5. A distribuição de velocidade em um rio muito largo de 3,0 \mathrm{~m} de profundidade pode ser aproximado pela equação \mathrm{v}=0,5+(\mathrm{y} / 3)^{0,5} \mathrm{com} \mathrm{v}(\mathrm{m} / \mathrm{s}) e \mathrm{y}(\mathrm{m}), em que y é a ordenada medida a partir do fundo. Determine os coeficientes ’ \alpha ’ e ’ \beta ’ analiticamente. [R: \alpha=1,12 e \beta=1,04 ]

Passo 1

O enunciado pede que eu determine analiticamente os coeficientes \alpha e \beta para um rio muito largo de profundidade 3{,}0\:\mathrm{m}, cuja distribuição de velocidade em função da ordenada y (medida a partir do fundo) é
v(y)=0{,}5+\left(\dfrac{y}{3}\right)^{1/2},
onde v está em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}.
Informações relevantes dadas:
  • profundidade total H=3{,}0\:\mathrm{m};
  • perfil de velocidade v(y) como acima;
  • o rio é “muito largo” (largura muito maior que a profundidade), o que permite tratar integrais na seção transversal como integrais apenas em y (a largura cancela nas razões).
O que se pede: calcular analiticamente os valores de \alpha e \beta.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que são \alpha e \beta (definições físicas e matemáticas) e por que aparecem. Quando a velocidade não é uniforme na seção, para corrigir termos de energia cinética e de quantidade de movimento usa-se:
\alpha=\dfrac{\dfrac{1}{A}\displaystyle\int_A v^3 \, dA}{\bar v^3},\qquad \beta=\dfrac{\dfrac{1}{A}\displaystyle\int_A v^2 \, dA}{\bar v^2},
onde A é a área da seção transversal e \bar v é a velocidade média definida por
\bar v=\dfrac{1}{A}\displaystyle\int_A v\, dA.
Interpretação curta: \alpha corrige a energia cinética média (envolve v^3), \beta corrige o termo de momento (envolve v^2).

Passo 3

Como o rio é muito largo a área da seção A é b\cdot H (com b a largura) e todas as integrais sobre A reduzem a b vezes integrais sobre y. Assim o fator b cancela nas razões e podemos trabalhar apenas com integrais por unidade de largura. Portanto, com H=3,
\bar v=\dfrac{1}{3}\int_0^3 v(y)\,dy,
\beta=\dfrac{\dfrac{1}{3}\int_0^3 v(y)^2\,dy}{\bar v^2}, \qquad \alpha=\dfrac{\dfrac{1}{3}\int_0^3 v(y)^3\,dy}{\bar v^3}.
Agora vamos calcular as integrais \int_0^3 v\,dy, \int_0^3 v^2\,dy e \int_0^3 v^3\,dy passo a passo.

Passo 4

Calcular a velocidade média \bar v.
Temos v(y)=a+b(y) com a=0{,}5 e b(y)=\left(\dfrac{y}{3}\right)^{1/2}.
Primeiro a integral de b(y):
\int_0^3 \left(\dfrac{y}{3}\right)^{1/2} dy = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\int_0^3 y^{1/2}\,dy = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\left[\dfrac{2}{3}y^{3/2}\right]_0^3.
Como 3^{3/2}=3\sqrt{3}, isso dá
\int_0^3 b(y)\,dy=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2.
Agora a integral de v:
\int_0^3 v(y)\,dy=\int_0^3 \bigl(0{,}5 + b(y)\bigr)\,dy =0{,}5\cdot 3 + 2 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5.
Portanto a velocidade média é
\bar v=\dfrac{1}{3}\cdot 3{,}5 = \dfrac{7}{6}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}1667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int_0^3 v(y)^2\,dy.
Expandindo v^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Integramos termo a termo.
  • a^2\cdot 3 = (0{,}5)^2\cdot 3 = 0{,}25\cdot 3 = 0{,}75.
  • 2a\int_0^3 b(y)\,dy = 2\cdot 0{,}5 \cdot 2 = 2.
  • \int_0^3 b(y)^2\,dy = \int_0^3 \dfrac{y}{3}\,dy = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{y^2}{2}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{6}=1{,}5.
Somando:
\int_0^3 v^2\,dy = 0{,}75 + 2 + 1{,}5 = 4{,}25 = \dfrac{17}{4}.

Passo 6

Calcular \beta usando os valores obtidos.
Temos
\dfrac{1}{3}\int_0^3 v^2\,dy = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{17}{4} = \dfrac{17}{12}.
A velocidade média ao quadrado é
\bar v^2 = \left(\dfrac{7}{6}\right)^2 = \dfrac{49}{36}.
Logo
\beta = \dfrac{\dfrac{17}{12}}{\dfrac{49}{36}} = \dfrac{17}{12}\cdot \dfrac{36}{49} = \dfrac{17\cdot 3}{49} = \dfrac{51}{49}\approx 1{,}040816\ldots
Arredondando para duas casas decimais: \beta\approx 1{,}04.

Passo 7

Calcular \displaystyle\int_0^3 v(y)^3\,dy.
Expandindo v^3=(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 e integrando:
  • a^3\cdot 3 = (0{,}5)^3\cdot 3 = 0{,}125\cdot 3 = 0{,}375 = \dfrac{3}{8}.
  • 3a^2\int_0^3 b(y)\,dy = 3\cdot(0{,}5)^2\cdot 2 = 3\cdot 0{,}25\cdot 2 = 1{,}5 = \dfrac{3}{2}.
  • 3a\int_0^3 b(y)^2\,dy = 3\cdot 0{,}5\cdot 1{,}5 = 3\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}=2{,}25.
  • \displaystyle\int_0^3 b(y)^3\,dy = \int_0^3 \left(\dfrac{y}{3}\right)^{3/2}dy = \dfrac{1}{3^{3/2}}\int_0^3 y^{3/2}\,dy = \dfrac{1}{3\sqrt{3}}\cdot \dfrac{2}{5}y^{5/2}\Big|_0^3.
Como 3^{5/2}=9\sqrt{3},
\int_0^3 b^3\,dy = \dfrac{1}{3\sqrt{3}}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot 9\sqrt{3} = \dfrac{18}{15} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2.
Somando todos os termos:
\int_0^3 v^3\,dy = \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} + \dfrac{6}{5} = \dfrac{213}{40} = 5{,}325.

Passo 8

Calcular \alpha com os valores obtidos.
Temos
\dfrac{1}{3}\int_0^3 v^3\,dy = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{213}{40} = \dfrac{71}{40}.
E a velocidade média ao cubo é
\bar v^3 = \left(\dfrac{7}{6}\right)^3 = \dfrac{343}{216}.
Portanto
\alpha = \dfrac{\dfrac{71}{40}}{\dfrac{343}{216}} = \dfrac{71}{40}\cdot \dfrac{216}{343} = \dfrac{1917}{1715}\approx 1{,}1178\ldots
Arredondando para duas casas decimais: \alpha\approx 1{,}12.

Resposta

\alpha=1,12
\beta=1,04

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