Seja um canal trapezoidal uniforme de 300 m de comprimento, com coef. de rugosidade igual a 0,014 . Determinar a altura y da lâmina d’água neste canal sabendo-se que a declividade longitudinal é 0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e a vazăo transportada é 8 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a altura y da lâmina d’água num canal trapezoidal uniforme. Dados fornecidos:
\begin{aligned} \text{comprimento do canal} &= 300\\ \mathrm{m},\\\ n &= 0,014,\\\ S_0 &= 0,001\\ \mathrm{m/m},\\\ Q &= 8\\ \mathrm{m^3/s}. \end{aligned}
O que se pede: determinar a profundidade y (altura da lâmina).
Importante: o enunciado NÃO fornece a geometria completa do canal trapezoidal — faltam pelo menos dois dados geométricos essenciais: a largura do fundo b e a inclinação das margens (lado do trapézio), normalmente indicada por m (onde m é a cotaa horizontal por unidade vertical, isto é, talude m:1). Sem b e m não é possível calcular numericamente y. Vou explicar tudo passo a passo e mostrar a equação que deve ser resolvida quando você tiver b e m, além de um método prático para resolver por tentativa/iteração.

Passo 2

Apresentando a fórmula fundamental (Manning) e explicando cada termo:
A equação de Manning para escoamento uniforme em canais é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2}),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P},
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}),
  • S_0 é a declividade do canal (m/m).
Explicação curta e intuitiva: a equação diz que a vazão aumenta com a área e com o raio hidráulico (que mede quão “guloso” é o canal em transportar água), e diminui com a rugosidade n.
Observação: o comprimento do canal ( 300\\ \mathrm{m}) não entra diretamente na equação de escoamento uniforme — ele serviria em problemas de variação espacial (como cálculo de perda de carga em escoamento não uniforme), mas para escoamento uniforme só precisamos de geometria, n, S_0 e Q.

Passo 3

Expressões geométricas da seção trapezoidal (introduzimos variáveis geométricas padrão):
Se o canal tem largura de fundo b (m) e talude lateral m (horizontal por vertical), então para uma lâmina de profundidade y (m):
  • largura superior (lamina) T = b + 2 m y,
  • área molhada
A = \text{(média das bases)}\times y = \frac{b + T}{2}\,y = y\,(b + m y).é
(Portanto A = b y + m y^2.)
  • perímetro molhado
P = b + 2\sqrt{y^2 + (m y)^2} = b + 2y\sqrt{1+m^2}.
  • raio hidráulico
R=\frac{A}{P}=\frac{b y + m y^2}{\,b + 2 y\sqrt{1+m^2}\,}.
Expliquei cada expressão: o termo m y é o avanço horizontal de cada talude; a hipotenusa do talude (parte molhada da lateral) é y\sqrt{1+m^2}.

Passo 4

Substituindo A e R na equação de Manning obtemos a equação implícita em y que determina a lâmina:
Q=\frac{1}{n}\,(b y + m y^2)\left(\frac{b y + m y^2}{\,b + 2 y\sqrt{1+m^2}\,}\right)^{2/3}S_0^{1/2}.
Colocando os valores conhecidos n=0,014, S_0=0,001 e Q=8\\ \mathrm{m^3/s}, a equação que deve ser resolvida numericamente é
\frac{1}{0,014}\,(b y + m y^2)\left(\frac{b y + m y^2}{\,b + 2 y\sqrt{1+m^2}\,}\right)^{2/3}\,(0,001)^{1/2} = 8.
Observação: essa equação é não linear em y e depende explicitamente de b e m.

Passo 5

Como resolver essa equação na prática (método passo a passo sem pular etapas):
  1. Identifique/insira os valores de b e m (esses são dados que você precisa obter do enunciado ou da figura do problema).
  2. Defina a função de erro (função a zerar)
f(y)=\frac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\,S_0^{1/2}-Q,
onde A(y)=b y + m y^2 e R(y)=A(y)/P(y) com P(y)=b+2y\sqrt{1+m^2}.
3. Faça uma primeira estimativa y_0. Uma estimativa rápida pode ser obtida assumindo canal “muito largo” (reta aproximação): R\approx y, A\approx b y, daí
y_0\approx\left(\frac{Q\,n}{b\,S_0^{1/2}}\right)^{3/5},
isso dá um chute inicial razoável se b não for muito pequeno.
4. Use um método iterativo:
  • Método da secante ou Newton-Raphson (mais rápido) se souber calcular derivada; para Newton:
y_{k+1}=y_k-\frac{f(y_k)}{f'(y_k)}.
  • Se preferir evitar derivadas, use a iteração de secante ou apenas método de tentativa/erro: calcule Q_{\text{calc}}(y)=\dfrac{1}{n}A(y)R(y)^{2/3}S_0^{1/2} para vários y e ajuste até que Q_{\text{calc}} esteja muito próximo de 8.
  1. Critério de parada: quando |Q_{\text{calc}}(y)-Q|<\varepsilon (por exemplo \varepsilon=0,01\\ \mathrm{m^3/s} ou menor) ou quando |y_{k+1}-y_k|<\delta (por exemplo \delta=10^{-4}\\ \mathrm{m}).
  2. Se for fazer à mão (sem computador), construa uma tabela com y e Q_{\text{calc}}(y) (por exemplo y=0,2;\\\ 0,4;\\\ 0,6;\\ ...) e interpole linearmente entre a última dupla que envolve Q=8. Com calculadora é muito mais prático usar Newton ou secante.
Dica prática e empática: faça poucas tentativas bem escolhidas — um bom chute inicial reduz muito o trabalho. Se você me der b e m eu faço as iterações numéricas para chegar em y.

Passo 6

Exemplo didático (estrutura de cálculo que você repetirá ao resolver numericamente quando souber b e m) — esquema de cálculo manual para um valor de y:
  1. Calcule A=b y + m y^2.
  2. Calcule P=b + 2 y\sqrt{1+m^2}.
  3. Calcule R=A/P.
  4. Calcule Q_{\text{calc}}=\dfrac{1}{n}A R^{2/3} S_0^{1/2}.
  5. Compare com Q=8. Se Q_{\text{calc}}>8, diminua y; se Q_{\text{calc}}<8, aumente y. Repita até convergir.
Mostrei claramente como montar e resolver — isso é exatamente o que você faria na prova se tivesse b e m. Não pule etapas: escreva cada valor intermediário (A, P, R, Q_calc) para acompanhar o erro.

Passo 7

Resumo final e o que falta para obter o número pedido:
  • A equação que determina y foi escrita (veja Passo 4).
  • Contudo, sem os dados geométricos do canal — ao menos b (largura do fundo) e m (talude lateral) — não existe um valor numérico único para y.
  • Quando você tiver b e m, aplique o procedimento do Passo 5 (chute inicial + iteração) para obter y. Se quiser, envie b e m que eu faço a conta passo a passo e te passo o resultado com todas as iterações e explicações.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \,y porque faltam os dados geométricos do canal (largura do fundo b e talude lateral m). A equação implícita que deve ser resolvida para \,y é:
\frac{1}{0,014}\,(b y + m y^2)\left(\frac{b y + m y^2}{\,b + 2 y\sqrt{1+m^2}\,}\right)^{2/3}\,(0,001)^{1/2}=8.

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