Seja um canal trapezoidal uniforme de 300 m de comprimento, com coef. de rugosidade igual a 0,014 . Determinar a altura y da lâmina d’água neste canal sabendo-se que a declividade longitudinal é
e a vazăo transportada é
.
Passo 1
O enunciado pede a altura
da lâmina d’água num canal trapezoidal uniforme. Dados fornecidos:
O que se pede: determinar a profundidade
(altura da lâmina).
Importante: o enunciado NÃO fornece a geometria completa do canal trapezoidal — faltam pelo menos dois dados geométricos essenciais: a largura do fundo
e a inclinação das margens (lado do trapézio), normalmente indicada por
(onde
é a cotaa horizontal por unidade vertical, isto é, talude
). Sem
e
não é possível calcular numericamente
. Vou explicar tudo passo a passo e mostrar a equação que deve ser resolvida quando você tiver
e
, além de um método prático para resolver por tentativa/iteração.
Passo 2
Apresentando a fórmula fundamental (Manning) e explicando cada termo:
A equação de Manning para escoamento uniforme em canais é
onde:
-
é a vazão volumétrica ( ), -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), -
é a área da seção molhada ( ), -
é o raio hidráulico ( ), definido por , -
é o perímetro molhado ( ), -
é a declividade do canal (m/m).
Explicação curta e intuitiva: a equação diz que a vazão aumenta com a área e com o raio hidráulico (que mede quão “guloso” é o canal em transportar água), e diminui com a rugosidade
.
Observação: o comprimento do canal (
) não entra diretamente na equação de escoamento uniforme — ele serviria em problemas de variação espacial (como cálculo de perda de carga em escoamento não uniforme), mas para escoamento uniforme só precisamos de geometria,
,
e
.
Passo 3
Expressões geométricas da seção trapezoidal (introduzimos variáveis geométricas padrão):
Se o canal tem largura de fundo
(m) e talude lateral
(horizontal por vertical), então para uma lâmina de profundidade
(m):
- largura superior (lamina)
, - área molhada
(Portanto
.)
- perímetro molhado
- raio hidráulico
Expliquei cada expressão: o termo
é o avanço horizontal de cada talude; a hipotenusa do talude (parte molhada da lateral) é
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação de Manning obtemos a equação implícita em
que determina a lâmina:
Colocando os valores conhecidos
,
e
, a equação que deve ser resolvida numericamente é
Observação: essa equação é não linear em
e depende explicitamente de
e
.
Passo 5
Como resolver essa equação na prática (método passo a passo sem pular etapas):
- Identifique/insira os valores de
e (esses são dados que você precisa obter do enunciado ou da figura do problema). - Defina a função de erro (função a zerar)
onde
e
com
.
3. Faça uma primeira estimativa . Uma estimativa rápida pode ser obtida assumindo canal “muito largo” (reta aproximação):
,
, daí
3. Faça uma primeira estimativa
isso dá um chute inicial razoável se
não for muito pequeno.
4. Use um método iterativo:
4. Use um método iterativo:
- Método da secante ou Newton-Raphson (mais rápido) se souber calcular derivada; para Newton:
- Se preferir evitar derivadas, use a iteração de secante ou apenas método de tentativa/erro: calcule
para vários e ajuste até que esteja muito próximo de .
- Critério de parada: quando
(por exemplo ou menor) ou quando (por exemplo ). - Se for fazer à mão (sem computador), construa uma tabela com
e (por exemplo ) e interpole linearmente entre a última dupla que envolve . Com calculadora é muito mais prático usar Newton ou secante.
Dica prática e empática: faça poucas tentativas bem escolhidas — um bom chute inicial reduz muito o trabalho. Se você me der
e
eu faço as iterações numéricas para chegar em
.
Passo 6
Exemplo didático (estrutura de cálculo que você repetirá ao resolver numericamente quando souber
e
) — esquema de cálculo manual para um valor de
:
- Calcule
. - Calcule
. - Calcule
. - Calcule
. - Compare com
. Se , diminua ; se , aumente . Repita até convergir.
Mostrei claramente como montar e resolver — isso é exatamente o que você faria na prova se tivesse
e
. Não pule etapas: escreva cada valor intermediário (A, P, R, Q_calc) para acompanhar o erro.
Passo 7
Resumo final e o que falta para obter o número pedido:
- A equação que determina
foi escrita (veja Passo 4). - Contudo, sem os dados geométricos do canal — ao menos
(largura do fundo) e (talude lateral) — não existe um valor numérico único para . - Quando você tiver
e , aplique o procedimento do Passo 5 (chute inicial + iteração) para obter . Se quiser, envie e que eu faço a conta passo a passo e te passo o resultado com todas as iterações e explicações.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque faltam os dados geométricos do canal (largura do fundo
e talude lateral
). A equação implícita que deve ser resolvida para
é: