Questāo 4. Em um canal regular de seção trapezoidal de declividade constante, com largura de fundo igual a 1,0 \mathrm{~m}, inclinação dos taludes 1 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, a altura d’água é igual a 0,80 \mathrm{~m} e a velocidade média 0,85 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Verifique a influência das forças viscosa e da gravidade avaliando os regimes do escoamento através da determinação dos números de Reynolds e Froude. Viscosidade da água v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. [R: Rey = 3,75.10 5 ; \mathrm{Fr}=0,365; Regime turbulento e fluvial]

Passo 1

O que o exercício pede e os dados que temos. Temos que determinar os números de Reynolds e de Froude para um escoamento num canal trapezoidal e, a partir deles, verificar a influência das forças viscosas e da gravidade (ou seja, dizer o regime: laminar/turbento e subcrítico/critico/supercrítico). Dados fornecidos:
\text{largura de fundo } b=1{,}0\\ \mathrm{m}
\text{inclinação dos taludes } 1\mathrm{H}:1\mathrm{V}\Rightarrow m=1çã
\text{altura d'água } y=0{,}80\\ \mathrm{m}á
\text{velocidade média } V=0{,}85\\ \mathrm{m/s}é
\text{viscosidade cinemática da água } \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}áá
A meta: calcular \mathrm{Re} e \mathrm{Fr} e interpretar os valores.

Passo 2

Calcular a geometria da seção necessária: largura da superfície (top width) e área da seção molhada. Para um trapézio com talude m e profundidade y a largura superior é
T=b+2my.
Substituindo os valores:
T=1{,}0+2\cdot 1\cdot 0{,}80=1{,}0+1{,}6=2{,}6\\ \mathrm{m}.
A área da seção molhada de um trapézio pode ser escrita como
A=y(b+my).
Explicação rápida: isso vem de A=\frac{(b+T)}{2}\,y e substituindo T=b+2my obtém-se A=y(b+my). Agora o cálculo:
A=0{,}80\,(1{,}0+1\cdot 0{,}80)=0{,}80\cdot 1{,}80=1{,}44\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Calcular o perímetro molhado P (necessário para o raio hidráulico). Fórmula do perímetro molhado para trapézio:
P=b+2\sqrt{y^2+(my)^2}=b+2y\sqrt{1+m^2}.
Substituindo valores ( m=1):
P=1{,}0+2\cdot 0{,}80\sqrt{1+1^2}=1{,}0+1{,}6\sqrt{2}.
Calculemos numericamente \sqrt{2}\approx 1{,}41421356, então
P\approx 1{,}0+1{,}6\cdot 1{,}41421356\approx 1{,}0+2{,}26274\approx 3{,}26274\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o raio hidráulico R, que é a razão entre a área e o perímetro molhado:
R=\frac{A}{P}.
Substituindo os valores já encontrados:
R=\frac{1{,}44}{3{,}26274}\approx 0{,}4416\\ \mathrm{m}.
Explicação: o raio hidráulico é uma medida de “tamanho” hidráulico do escoamento que aparece naturalmente em definições de perdas e em Reynolds quando usamos dimensões de canal aberto.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds. Definição e significado: o número de Reynolds é a razão entre forças inerciais e forças viscosas e, para escoamento em canal aberto, usa-se frequentemente
\mathrm{Re}=\frac{V\,R}{\nu},
onde V é a velocidade média, R o raio hidráulico e \nu a viscosidade cinemática. Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{0{,}85\cdot 0{,}4416}{10^{-6}}=\frac{0{,}37536}{10^{-6}}=3{,}7536\times 10^{5}.
Arredondando conforme pedido:
\mathrm{Re}\approx 3{,}75\times 10^{5}.
Interpretação didática: valores grandes de \mathrm{Re} significam que as forças inerciais dominam sobre as viscosas; em escoamentos internos clássicos usa-se \mathrm{Re}\gtrsim 2000 como indicativo de regime turbulento. Aqui \mathrm{Re} é muito maior que esse limite, logo o escoamento é turbulento — as flutuações e mistura por turbulência são importantes e o efeito direto da viscosidade molecular é pequeno na escala do escoamento.

Passo 6

Calcular o número de Froude. Definição e significado: o número de Froude compara forças inerciais com as forças gravitacionais de superfície e é usado para classificar escoamentos em subcrítico (fluvial), crítico e supercrítico (torrencial). A definição adequada para canal aberto é
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,D_h}},
onde g é a aceleração da gravidade e D_h é a profundidade hidráulica (ou profundidade hidráulica média) dada por
D_h=\frac{A}{T},
isto é, a razão entre a área da seção molhada e a largura da superfície T. Primeiro calculamos D_h:
D_h=\frac{1{,}44}{2{,}6}\approx 0{,}55384615\\ \mathrm{m}.
Agora o denominador:
\sqrt{g\,D_h}=\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}55384615}\approx \sqrt{5{,}433}\approx 2{,}3306\\ \mathrm{m/s}.
Finalmente:
\mathrm{Fr}=\frac{0{,}85}{2{,}3306}\approx 0{,}3649\approx 0{,}365.

Passo 7

Interpretação do \mathrm{Fr}: valores de \mathrm{Fr} classificam o escoamento por influência da gravidade sobre a inércia:
\mathrm{Fr}<1 \Rightarrow \text{escoamento subcrítico (fluvial): a gravidade domina; ondas se propagam rio acima.}í
\mathrm{Fr}=1 \Rightarrow \text{escoamento crítico.}í
\mathrm{Fr}>1 \Rightarrow \text{escoamento supercrítico (torrencial): inércia domina; ondas não sobem).}íéã
No nosso caso \mathrm{Fr}\approx 0{,}365<1, portanto o escoamento é subcrítico, chamado também de fluvial. Isso significa que a gravidade (força peso / superfície livre) tem papel importante na dinâmica da superfície e nas propagação de ondas livres.

Passo 8

Conclusão geral sobre a influência das forças: com \mathrm{Re}\approx 3{,}75\times 10^{5} temos que as forças inerciais dominam claramente sobre as viscosas moleculares (escoamento turbulento), ou seja, a viscosidade tem influência pequena na escala global do escoamento. Com \mathrm{Fr}\approx 0{,}365 temos que a gravidade é importante para controlar o regime superficial (escoamento subcrítico/fluvial). Em linguagem simples: turbulência interna forte (inércia vs viscosidade) e controle gravitacional do nível livre (inércia vs gravidade dá Fr<1).

Resposta

\mathrm{Re}=3{,}75\times 10^{5}
\mathrm{Fr}=0{,}365
Regime turbulento e fluvial

Exercícios relacionados