Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida
por
.
Divida
Passo 1
O enunciado dá o polinômio dividendo
e o divisor
. Pede-se que eu apresente o quociente e o resto da divisão polinomial.
Dados importantes: o dividendo é e o divisor é
. O objetivo final é encontrar o quociente
e o resto
tais que
Dados importantes: o dividendo é
com
(ou seja,
é uma constante).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a divisão algébrica (divisão longa) passo a passo. Motivo: o divisor é um polinômio linear cujo coeficiente líder não é 1 (é
), então a divisão longa é direta e evita truques adicionais. A ideia-chave da divisão longa é, a cada passo, dividir o termo de maior grau do resto corrente pelo termo de maior grau do divisor para obter um termo do quociente, multiplicar o divisor por esse termo e subtrair do polinômio atual — e repetir até que o grau do resto seja menor que o do divisor.
Regra útil (a “receitinha”): se o termo dominante do dividendo atual for
e o do divisor for
, o próximo termo do quociente será
.
Passo 3
Primeiro passo da divisão: comparar os termos de maior grau.
Termo líder do dividendo:
.
Termo líder do divisor: .
Termo líder do divisor:
Dividindo líderes:
Multiplico o divisor por
:
Subtraio isso do dividendo inicial:
Agora trago os termos que restaram do polinômio: junto com o
que já estava, o novo polinômio a dividir é
Passo 4
Segundo passo: dividir o novo termo líder pelo líder do divisor.
Termo líder atual:
.
Divido por :
Divido por
Multiplico o divisor por
:
Faço a subtração do polinômio atual:
Agora trago o termo constante
, ficando o novo polinômio a dividir
Passo 5
Terceiro passo: dividir o termo líder atual pelo líder do divisor.
Termo líder atual:
.
Divido por :
Divido por
Multiplico o divisor por
:
Subtraio do polinômio atual:
Agora o resto é a constante
. Como seu grau (0) é menor que o grau do divisor (1), a divisão termina aqui.
Passo 6
Reunindo os termos do quociente obtidos nos passos anteriores: o quociente é
e o resto é
Verificação (cheque rápido): calculo
para garantir que volta ao dividendo original.
Multiplicando:
Multiplicando:
Somando o resto
dá constante
, então o resultado completo é
que é exatamente o dividendo inicial — perfeito!
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: