Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida 4 x^{3}-x^{2}+2 x-5 por 2 x-1.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio dividendo 4x^{3}-x^{2}+2x-5 e o divisor 2x-1. Pede-se que eu apresente o quociente e o resto da divisão polinomial.
Dados importantes: o dividendo é 4x^{3}-x^{2}+2x-5 e o divisor é 2x-1. O objetivo final é encontrar o quociente Q(x) e o resto R tais que
4x^{3}-x^{2}+2x-5 = (2x-1)\,Q(x) + R,
com \deg(R)<\deg(2x-1)=1 (ou seja, R é uma constante).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a divisão algébrica (divisão longa) passo a passo. Motivo: o divisor é um polinômio linear cujo coeficiente líder não é 1 (é 2), então a divisão longa é direta e evita truques adicionais. A ideia-chave da divisão longa é, a cada passo, dividir o termo de maior grau do resto corrente pelo termo de maior grau do divisor para obter um termo do quociente, multiplicar o divisor por esse termo e subtrair do polinômio atual — e repetir até que o grau do resto seja menor que o do divisor.
Regra útil (a “receitinha”): se o termo dominante do dividendo atual for a x^{m} e o do divisor for b x^{n}, o próximo termo do quociente será \dfrac{a}{b}x^{m-n}.

Passo 3

Primeiro passo da divisão: comparar os termos de maior grau.
Termo líder do dividendo: \,4x^{3}\,.
Termo líder do divisor: \,2x\,.
Dividindo líderes:
\text{primeiro termo do quociente}=\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}.
Multiplico o divisor por 2x^{2}:
(2x-1)\cdot 2x^{2}=4x^{3}-2x^{2}.
Subtraio isso do dividendo inicial:
(4x^{3}-x^{2})-(4x^{3}-2x^{2}) = -x^{2}+2x^{2}=x^{2}.
Agora trago os termos que restaram do polinômio: junto com o +2x que já estava, o novo polinômio a dividir é
x^{2}+2x.

Passo 4

Segundo passo: dividir o novo termo líder pelo líder do divisor.
Termo líder atual: \,x^{2}\,.
Divido por 2x:
\text{segundo termo do quociente}=\frac{x^{2}}{2x}=\frac{1}{2}x.
Multiplico o divisor por \frac{1}{2}x:
(2x-1)\cdot \frac{1}{2}x = x^{2}-\frac{1}{2}x.
Faço a subtração do polinômio atual:
(x^{2}+2x)-(x^{2}-\tfrac{1}{2}x)=2x+\tfrac{1}{2}x=\tfrac{5}{2}x.
Agora trago o termo constante -5, ficando o novo polinômio a dividir
\tfrac{5}{2}x-5.

Passo 5

Terceiro passo: dividir o termo líder atual pelo líder do divisor.
Termo líder atual: \tfrac{5}{2}x.
Divido por 2x:
\text{terceiro termo do quociente}=\frac{\tfrac{5}{2}x}{2x}=\frac{5}{4}.
Multiplico o divisor por \tfrac{5}{4}:
(2x-1)\cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2}x - \frac{5}{4}.
Subtraio do polinômio atual:
\left(\tfrac{5}{2}x-5\right)-\left(\tfrac{5}{2}x-\tfrac{5}{4}\right) = -5 + \tfrac{5}{4} = -\tfrac{15}{4}.
Agora o resto é a constante -\tfrac{15}{4}. Como seu grau (0) é menor que o grau do divisor (1), a divisão termina aqui.

Passo 6

Reunindo os termos do quociente obtidos nos passos anteriores: o quociente é
Q(x)=2x^{2}+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{4},
e o resto é
R=-\tfrac{15}{4}.
Verificação (cheque rápido): calculo (2x-1)Q(x)+R para garantir que volta ao dividendo original.
Multiplicando:
(2x-1)\Big(2x^{2}+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{4}\Big) =4x^{3}-x^{2}+2x-\tfrac{5}{4}.
Somando o resto -\tfrac{15}{4} dá constante -\tfrac{5}{4}-\tfrac{15}{4}=-5, então o resultado completo é
4x^{3}-x^{2}+2x-5,
que é exatamente o dividendo inicial — perfeito!

Resposta

Quociente: 2x^{2}+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{4}
Resto: -\tfrac{15}{4}

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