Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida 3 x^{4}-2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+4 por x^{2}-x+1.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio 3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-7x+4 pelo polinômio x^{2}-x+1 e apresentar o quociente e o resto.
Dados relevantes fornecidos:
\text{Dividendo }=3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-7x+4
\text{Divisor }=x^{2}-x+1
Objetivo: encontrar o quociente Q(x) e o resto R(x) tais que
\text{Dividendo} = \text{Divisor}\cdot Q(x) + R(x),
com \deg(R)<\deg(\text{Divisor}).

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática).
  • Grau de um polinômio: o maior expoente de x. Ex.: \deg(3x^{4}-2x^{3}+\dots)=4.
  • Termo líder: o termo com maior grau (aqui 3x^{4} no dividendo e x^{2} no divisor).
  • No algoritmo da divisão de polinômios (long division) dividimos o termo líder do que resta do dividendo pelo termo líder do divisor para obter o próximo termo do quociente. Em seguida multiplicamos o divisor por esse termo do quociente e subtraímos do que resta do dividendo, repetindo até que o resto tenha grau menor que o divisor.
  • Parada: quando o grau do resto é menor que \deg(x^{2}-x+1)=2.

Passo 3

Primeiro passo da divisão: divisível pelo termo líder.
Calcule o primeiro termo do quociente dividindo os termos líderes:
\frac{3x^{4}}{x^{2}}=3x^{2}.
Multiplique o divisor por 3x^{2}:
3x^{2}\cdot(x^{2}-x+1)=3x^{4}-3x^{3}+3x^{2}.
Subtraia esse produto do início do dividendo (considerando os termos até x^{2}):
(3x^{4}-2x^{3}+5x^{2})-(3x^{4}-3x^{3}+3x^{2})=(3x^{4}-3x^{4})+(-2x^{3}+3x^{3})+(5x^{2}-3x^{2})=x^{3}+2x^{2}.
Traga os termos restantes -7x+4. Agora o que resta para dividir é
x^{3}+2x^{2}-7x+4.

Passo 4

Segundo termo do quociente: divida o termo líder do que resta pelo termo líder do divisor:
\frac{x^{3}}{x^{2}}=x.
Multiplique o divisor por x:
x\cdot(x^{2}-x+1)=x^{3}-x^{2}+x.
Subtraia esse produto do polinômio que resta:
(x^{3}+2x^{2}-7x)-(x^{3}-x^{2}+x)=(x^{3}-x^{3})+(2x^{2}+x^{2})+(-7x - x)=3x^{2}-8x.
Traga o termo constante +4. Agora o que resta é
3x^{2}-8x+4.

Passo 5

Terceiro termo do quociente: divida o termo líder do que resta pelo termo líder do divisor:
\frac{3x^{2}}{x^{2}}=3.
Multiplique o divisor por 3:
3\cdot(x^{2}-x+1)=3x^{2}-3x+3.
Subtraia:
(3x^{2}-8x+4)-(3x^{2}-3x+3)=(3x^{2}-3x^{2})+(-8x+3x)+(4-3)=-5x+1.

Passo 6

Verificação da condição de parada e interpretação do resto.
O resto obtido é -5x+1, cujo grau é 1, menor que o grau do divisor ( 2). Portanto a divisão termina aqui.
O quociente obtido, juntando os termos calculados, é
Q(x)=3x^{2}+x+3,
e o resto é
R(x)=-5x+1.
Para checar, podemos reconstruir:
(x^{2}-x+1)(3x^{2}+x+3)=3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-2x+3
(calculado expandindo termo a termo) e somando o resto -5x+1 obtemos
3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-2x+3 +(-5x+1)=3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-7x+4,
que é exatamente o dividendo inicial. Assim a divisão está correta.

Resposta

Quociente: 3x^{2}+x+3
Resto: -5x+1

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