Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida x^{3}+2 x^{2}-5 x-6 por x+3.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio x^{3}+2x^{2}-5x-6 pelo binômio x+3 e apresentar o quociente e o resto.
Informações dadas: o dividendo é x^{3}+2x^{2}-5x-6 e o divisor é x+3.
Não vamos resolver ainda aqui — só deixei claro o que é pedido.

Passo 2

Primeira ideia útil (teorema do resto), explicada passo a passo: quando dividimos um polinômio P(x) por x-a, o resto da divisão é exatamente P(a).
Aqui o divisor é x+3, que pode ser escrito como x-(-3). Logo, no nosso caso a=-3.
Isso significa que o resto será P(-3), onde P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6. Vamos calcular P(-3) devagarinho:
Calcule cada parcela:
(-3)^3 = -27,
2\cdot(-3)^2 = 2\cdot 9 = 18,
-5\cdot(-3) = 15,
e o termo constante é -6.
Agora somamos tudo:
P(-3) = -27 + 18 + 15 - 6.
Fazendo as somas em etapas: -27+18=-9; -9+15=6; 6-6=0. Portanto
P(-3)=0.
Conclusão: o resto da divisão é 0. Isso já nos diz que x+3 é um fator de P(x).

Passo 3

Agora vamos achar o quociente. Método prático e rápido: divisão sintética (método de Ruffini). Vou ensinar como fazer e por que é só manipular coeficientes.
Para usar a divisão sintética, pegamos os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de grau. Para P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6 os coeficientes são
1,\; 2,\; -5,\; -6.
Usamos o número a=-3 (o oposto do sinal em x-a) na coluna à esquerda. A ideia é “trazer” o primeiro coeficiente para baixo (ele vira o primeiro coeficiente do quociente), multiplicá-lo por a, somar ao próximo coeficiente, repetir até o final; o número final obtido é o resto.

Passo 4

Executando a divisão sintética passo a passo:
  1. Escrevemos os coeficientes: 1,\;2,\;-5,\;-6. Colocamos a=-3 à esquerda.
  2. Trago o primeiro coeficiente 1 para baixo — ele será o primeiro coeficiente do quociente:
\text{primeiro coeficiente do quociente} = 1.
  1. Multiplico esse 1 por a=-3: 1\cdot(-3) = -3. Somo esse resultado ao próximo coeficiente 2:
2 + (-3) = -1.
Esse -1 é o segundo coeficiente do quociente.
  1. Multiplico -1 por a=-3: (-1)\cdot(-3) = 3. Somo esse resultado ao próximo coeficiente -5:
-5 + 3 = -2.
Esse -2 é o terceiro coeficiente do quociente.
  1. Multiplico -2 por a=-3: (-2)\cdot(-3) = 6. Somo esse resultado ao último coeficiente -6:
-6 + 6 = 0.
Esse 0 é o resto (concorda com o que achamos pelo teorema do resto).
Assim os coeficientes do quociente são 1,\; -1,\; -2 e o resto é 0.

Passo 5

Transformando os coeficientes do quociente em polinômio: coeficientes 1,\;-1,\;-2 correspondem ao polinômio
x^{2} - x - 2.
Portanto o quociente da divisão de x^{3}+2x^{2}-5x-6 por x+3 é x^{2}-x-2 e o resto é 0.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): multiplicamos o quociente pelo divisor e somamos o resto — devemos recuperar o dividendo. Como o resto é 0 basta multiplicar:
(x+3)(x^{2}-x-2).
Fazendo a multiplicação em duas partes:
x\cdot(x^{2}-x-2)=x^{3}-x^{2}-2x,
3\cdot(x^{2}-x-2)=3x^{2}-3x-6.
Somando:
x^{3}-x^{2}-2x + 3x^{2}-3x-6 = x^{3} +2x^{2} -5x -6,
que é exatamente o dividendo. Portanto está correto.

Passo 7

Resumo final e bom incentivo: deu trabalho, mas com o teorema do resto a gente já sabia que o resto seria 0, e a divisão sintética entregou o quociente de forma rápida. Você consegue aplicar isso na prova — pratica esse passo a passo mais algumas vezes que fica automático. Força, tá indo bem!

Resposta

Quociente: x^{2}-x-2
Resto: 0

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