Questão 2: Divisão de Polinômios
Resolva os itens abaixo (apresentando quociente e resto):
Divida
por
.
Divida
Passo 1
O enunciado pede para dividir o polinômio
pelo binômio
e apresentar o quociente e o resto.
Informações dadas: o dividendo é e o divisor é
.
Não vamos resolver ainda aqui — só deixei claro o que é pedido.
Informações dadas: o dividendo é
Não vamos resolver ainda aqui — só deixei claro o que é pedido.
Passo 2
Primeira ideia útil (teorema do resto), explicada passo a passo: quando dividimos um polinômio
por
, o resto da divisão é exatamente
.
Aqui o divisor é , que pode ser escrito como
. Logo, no nosso caso
.
Isso significa que o resto será , onde
. Vamos calcular
devagarinho:
Aqui o divisor é
Isso significa que o resto será
Calcule cada parcela:
e o termo constante é
.
Agora somamos tudo:
Fazendo as somas em etapas:
;
;
. Portanto
Conclusão: o resto da divisão é
. Isso já nos diz que
é um fator de
.
Passo 3
Agora vamos achar o quociente. Método prático e rápido: divisão sintética (método de Ruffini). Vou ensinar como fazer e por que é só manipular coeficientes.
Para usar a divisão sintética, pegamos os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de grau. Para
os coeficientes são
Usamos o número
(o oposto do sinal em
) na coluna à esquerda. A ideia é “trazer” o primeiro coeficiente para baixo (ele vira o primeiro coeficiente do quociente), multiplicá-lo por
, somar ao próximo coeficiente, repetir até o final; o número final obtido é o resto.
Passo 4
Executando a divisão sintética passo a passo:
-
Escrevemos os coeficientes:
. Colocamos à esquerda. -
Trago o primeiro coeficiente
para baixo — ele será o primeiro coeficiente do quociente:
- Multiplico esse
por : . Somo esse resultado ao próximo coeficiente :
Esse
é o segundo coeficiente do quociente.
- Multiplico
por : . Somo esse resultado ao próximo coeficiente :
Esse
é o terceiro coeficiente do quociente.
- Multiplico
por : . Somo esse resultado ao último coeficiente :
Esse
é o resto (concorda com o que achamos pelo teorema do resto).
Assim os coeficientes do quociente são
e o resto é
.
Passo 5
Transformando os coeficientes do quociente em polinômio: coeficientes
correspondem ao polinômio
Portanto o quociente da divisão de
por
é
e o resto é
.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): multiplicamos o quociente pelo divisor e somamos o resto — devemos recuperar o dividendo. Como o resto é
basta multiplicar:
Fazendo a multiplicação em duas partes:
Somando:
que é exatamente o dividendo. Portanto está correto.
Passo 7
Resumo final e bom incentivo: deu trabalho, mas com o teorema do resto a gente já sabia que o resto seria
, e a divisão sintética entregou o quociente de forma rápida. Você consegue aplicar isso na prova — pratica esse passo a passo mais algumas vezes que fica automático. Força, tá indo bem!
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: