Questão 2 - Dois carrinhos movem-se em trilhos de ar paralelos. As origens dos trilhos são coincidentes. O carrinho A inicia seu movimento na posição
, com velocidade nula. A aceleração é constante de 2,0
. O carrinho B, por sua vez, parte da origem e move-se com velocidade constante de
. Determine (a) em que instantes os carros se cruzam (
:
e 4,5s) e (b) para quais valores de
eles se cruzam. (R: 2,5m e 22,5m) (c) Faça o esboço de
vs.
para ambos os carros (no mesmo gráfico!) indicando claramente a(s) posição(ões) e o(s) tempo(s) de cruzamento.
Passo 1
O enunciado dá duas partículas (carrinhos) que se movem em trilhos paralelos cujas origens coincidem. As informações relevantes são:
- Carrinho A:
- posição inicial
, - velocidade inicial
, - aceleração constante
.
- posição inicial
- Carrinho B:
- posição inicial
(origem), - velocidade constante
(ou seja, aceleração ).
- posição inicial
O enunciado pede:
(a) em que instantes os carros se cruzam;
(b) para quais valores de (posições) eles se cruzam;
(c) um esboço do gráfico versus
para ambos os carros no mesmo gráfico, indicando tempos e posições de cruzamento.
(a) em que instantes os carros se cruzam;
(b) para quais valores de
(c) um esboço do gráfico
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas de cinemática que usamos aqui.
Para movimento com aceleração constante a posição é dada por
onde:
-
é a posição no tempo , -
é a posição inicial (em ), -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração constante.
Para movimento com velocidade constante (aceleração zero) a posição é
onde
é a velocidade constante.
Vou aplicar essas fórmulas para cada carrinho substituindo os valores dados.
Passo 3
Escrever explicitamente as expressões das posições dos dois carrinhos ao longo do tempo, substituindo os dados.
Para o carrinho A (usando
,
,
):
Calculemos o fator
: é
. Portanto
Para o carrinho B (movimento retilíneo uniforme com
e
):
Passo 4
Os cruzamentos acontecem quando as posições são iguais, isto é, quando
Substituindo as expressões:
Rearranjando para obter uma equação quadrática padrão:
Agora vamos resolver essa equação quadrática. Usamos a fórmula quadrática
onde, comparando com
, temos
,
(atenção ao sinal) e
. Melhor ainda: escrevemos a equação como
.
Calculemos o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
.
Aplicando a fórmula:
Portanto os dois valores são
Passo 5
Interpretação física rápida dos dois instantes:
- Em
os carrinhos têm a mesma posição — esse é o primeiro encontro. Como o carrinho B sai mais rápido da origem, ele alcança e passa o carrinho A nesse instante. - Em
ocorre um segundo encontro — nessa altura o carrinho A, que vinha acelerando, voltou a alcançar o B e passa por ele.
Passo 6
Agora calculamos as posições correspondentes a cada instante de cruzamento. Podemos usar qualquer uma das expressões
ou
; vou usar
porque é mais simples.
Para
:
Para
:
Confirmação rápida: inserindo em
,
concordando com os valores obtidos.
Passo 7
Instruções para esboçar o gráfico
vs
(mesmo gráfico para os dois carrinhos). Vou descrever passo a passo o que desenhar, e dou um pequeno esboço ASCII aproximado para ajudar.
- Desenhe dois eixos perpendiculares: horizontal para o tempo
(em segundos) e vertical para a posição (em metros). Marque na origem. - Trace a curva do carrinho B: é uma reta passando pela origem com inclinação
. Plote alguns pontos: , , , , etc. A equação é . - Trace a curva do carrinho A: é uma parábola com vértice em
com e derivada inicial (velocidade inicial) zero. Plote pontos: , , , , , . A equação é . - Marque claramente os pontos de interseção/ cruzamento:
-
, -
.
-
- Identifique as curvas com legendas: “A:
(parábola, começa em )” e “B: (reta, passa pela origem)”.
Esboço ASCII aproximado (apenas para visualizar a ideia; eixo vertical é
, horizontal é
; pontos aproximados):
t →
0 0,5 1 2 4 4,5
x
^
0 0,5 1 2 4 4,5
x
^
| A:·(0,2,25) |
|---|
| · ·(0,5,2,5) ·(1,3,25) |
| \ · |
| \ · |
| \ ·(2,6,25) |
| \ · |
| \ ·(4,18,25) |
| \ ·(4,5,22,5) |
| B:·(0,0) -----·(0,5,2,5)-------·(1,5)----·(2,10)-------·(4,20)---- |
±-------------------------------------------------------------→
No esboço acima a reta de
cruza a parábola de
em
(ponto pequeno perto do início) e novamente em
. Ao desenhar à mão, use uma régua para a reta de
e um traçado curvado suave para a parábola de
, e rotule os pontos de interseção com coordenadas numéricas.
Passo 8
Resumo final do raciocínio e dica de prova: escreva sempre as equações das posições com
,
e
explícitos; iguale
e
e resolva a equação resultante (aqui uma quadrática). Verifique as raízes (tem que ser
para serem fisicamente relevantes). Sempre confira substituindo de volta nas expressões para confirmar a posição encontrada.