Questão 2 - Dois carrinhos movem-se em trilhos de ar paralelos. As origens dos trilhos são coincidentes. O carrinho A inicia seu movimento na posição 2,25 \mathrm{~m}, com velocidade nula. A aceleração é constante de 2,0 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. O carrinho B, por sua vez, parte da origem e move-se com velocidade constante de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine (a) em que instantes os carros se cruzam ( \mathbf{R} : \mathbf{0 , 5 s} e 4,5s) e (b) para quais valores de x eles se cruzam. (R: 2,5m e 22,5m) (c) Faça o esboço de x vs. t para ambos os carros (no mesmo gráfico!) indicando claramente a(s) posição(ões) e o(s) tempo(s) de cruzamento.

Passo 1

O enunciado dá duas partículas (carrinhos) que se movem em trilhos paralelos cujas origens coincidem. As informações relevantes são:
  • Carrinho A:
    • posição inicial \,x_{0A}=2,25\\ \mathrm{m},
    • velocidade inicial \,v_{0A}=0\\ \mathrm{m/s},
    • aceleração constante \,a_A=2,0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Carrinho B:
    • posição inicial \,x_{0B}=0\\ \mathrm{m} (origem),
    • velocidade constante \,v_B=5,0\\ \mathrm{m/s} (ou seja, aceleração a_B=0).
O enunciado pede:
(a) em que instantes os carros se cruzam;
(b) para quais valores de x (posições) eles se cruzam;
(c) um esboço do gráfico x versus t para ambos os carros no mesmo gráfico, indicando tempos e posições de cruzamento.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas de cinemática que usamos aqui.
Para movimento com aceleração constante a posição é dada por
x(t)=x_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2,
onde:
  • x(t) é a posição no tempo t,
  • x_0 é a posição inicial (em t=0),
  • v_0 é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração constante.
Para movimento com velocidade constante (aceleração zero) a posição é
x(t)=x_0+v t,
onde v é a velocidade constante.
Vou aplicar essas fórmulas para cada carrinho substituindo os valores dados.

Passo 3

Escrever explicitamente as expressões das posições dos dois carrinhos ao longo do tempo, substituindo os dados.
Para o carrinho A (usando x_0=2,25, v_0=0, a=2,0):
x_A(t)=2,25+0\cdot t+\tfrac{1}{2}\cdot 2,0\cdot t^2.
Calculemos o fator \tfrac{1}{2}\cdot 2,0: é 1,0. Portanto
x_A(t)=2,25+t^2.
Para o carrinho B (movimento retilíneo uniforme com x_0=0 e v=5,0):
x_B(t)=0+5,0\,t=5,0\,t.

Passo 4

Os cruzamentos acontecem quando as posições são iguais, isto é, quando
x_A(t)=x_B(t).
Substituindo as expressões:
2,25+t^2=5,0\,t.
Rearranjando para obter uma equação quadrática padrão:
t^2-5,0\,t+2,25=0.
Agora vamos resolver essa equação quadrática. Usamos a fórmula quadrática
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde, comparando com at^2+bt+c=0, temos a=1, b=-5,0 (atenção ao sinal) e c=2,25. Melhor ainda: escrevemos a equação como 1\cdot t^2+(-5,0)\cdot t+2,25=0.
Calculemos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=(-5,0)^2-4\cdot 1\cdot 2,25 = 25,0-9,0=16,0.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\sqrt{16,0}=4,0.
Aplicando a fórmula:
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5,0)\pm 4,0}{2\cdot 1}=\frac{5,0\pm 4,0}{2}.
Portanto os dois valores são
t_1=\frac{5,0-4,0}{2}=\frac{1,0}{2}=0,5\\ \mathrm{s},
t_2=\frac{5,0+4,0}{2}=\frac{9,0}{2}=4,5\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação física rápida dos dois instantes:
  • Em t=0,5\\ \mathrm{s} os carrinhos têm a mesma posição — esse é o primeiro encontro. Como o carrinho B sai mais rápido da origem, ele alcança e passa o carrinho A nesse instante.
  • Em t=4,5\\ \mathrm{s} ocorre um segundo encontro — nessa altura o carrinho A, que vinha acelerando, voltou a alcançar o B e passa por ele.

Passo 6

Agora calculamos as posições correspondentes a cada instante de cruzamento. Podemos usar qualquer uma das expressões x_A(t) ou x_B(t); vou usar x_B(t)=5,0\,t porque é mais simples.
Para t=0,5\\ \mathrm{s}:
x=5,0\cdot 0,5=2,5\\ \mathrm{m}.
Para t=4,5\\ \mathrm{s}:
x=5,0\cdot 4,5=22,5\\ \mathrm{m}.
Confirmação rápida: inserindo em x_A(t)=2,25+t^2,
x_A(0,5)=2,25+(0,5)^2=2,25+0,25=2,5\\ \mathrm{m},
x_A(4,5)=2,25+(4,5)^2=2,25+20,25=22,5\\ \mathrm{m},
concordando com os valores obtidos.

Passo 7

Instruções para esboçar o gráfico x vs t (mesmo gráfico para os dois carrinhos). Vou descrever passo a passo o que desenhar, e dou um pequeno esboço ASCII aproximado para ajudar.
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: horizontal para o tempo t (em segundos) e vertical para a posição x (em metros). Marque t=0 na origem.
  2. Trace a curva do carrinho B: é uma reta passando pela origem com inclinação 5,0. Plote alguns pontos: (t,x)=(0,0), (0,5)= (1,5), (2,10), (4,20), etc. A equação é x_B(t)=5,0\,t.
  3. Trace a curva do carrinho A: é uma parábola com vértice em t=0 com x_A(0)=2,25 e derivada inicial (velocidade inicial) zero. Plote pontos: (0,2,25), (0,5,2,5), (1,3,25), (2,6,25), (4,18,25), (4,5,22,5). A equação é x_A(t)=2,25+t^2.
  4. Marque claramente os pontos de interseção/ cruzamento:
    • (t,x)=(0,5\\ \mathrm{s},\\\ 2,5\\ \mathrm{m}),
    • (t,x)=(4,5\\ \mathrm{s},\\\ 22,5\\ \mathrm{m}).
  5. Identifique as curvas com legendas: “A: x=2,25+t^2 (parábola, começa em 2,25)” e “B: x=5,0t (reta, passa pela origem)”.
Esboço ASCII aproximado (apenas para visualizar a ideia; eixo vertical é x, horizontal é t; pontos aproximados):
t →
0 0,5 1 2 4 4,5
x
^
A:·(0,2,25)
· ·(0,5,2,5) ·(1,3,25)
\ ·
\ ·
\ ·(2,6,25)
\ ·
\ ·(4,18,25)
\ ·(4,5,22,5)
B:·(0,0) -----·(0,5,2,5)-------·(1,5)----·(2,10)-------·(4,20)----
±-------------------------------------------------------------→
No esboço acima a reta de B cruza a parábola de A em t=0,5 (ponto pequeno perto do início) e novamente em t=4,5. Ao desenhar à mão, use uma régua para a reta de B e um traçado curvado suave para a parábola de A, e rotule os pontos de interseção com coordenadas numéricas.

Passo 8

Resumo final do raciocínio e dica de prova: escreva sempre as equações das posições com x_0, v_0 e a explícitos; iguale x_A(t) e x_B(t) e resolva a equação resultante (aqui uma quadrática). Verifique as raízes (tem que ser t\ge 0 para serem fisicamente relevantes). Sempre confira substituindo de volta nas expressões para confirmar a posição encontrada.

Resposta

t=0,5\\ \mathrm{s} e t=4,5\\ \mathrm{s}
x=2,5\\ \mathrm{m} e x=22,5\\ \mathrm{m}

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