Questão 4 - A função horária de uma partícula em movimento unidimensional é dada pela expressão: x(t)=c t^{2}-b t^{3}. (a) Quais são as unidades das constantes c e b ? Considere que c e b assumam os valores numéricos 3,0 e 2,0 respectivamente. (b) Determina o instante em que a partícula passa pelo maior valor positivo de x . (c) Obtenha a função \mathrm{v}(\mathrm{t}) literal. Qual o valor da velocidade da partícula no instante acima? (d) Obtenha a função a(t) literal. Qual a aceleração da partícula no instante determinado no item b?

Passo 1

O enunciado dá a função horária unidimensional
x(t)=c\,t^{2}-b\,t^{3},
onde c e b são constantes. Pede-se:
  • (a) as unidades de c e de b. Considerar os valores numéricos c=3,0 e b=2,0.
  • (b) o instante em que a partícula passa pelo maior valor positivo de x.
  • (c) obter a função \mathrm{v}(t) de forma literal e calcular a velocidade no instante achado em (b).
  • (d) obter a função \mathrm{a}(t) de forma literal e calcular a aceleração no instante achado em (b).
Informações relevantes dadas:
  • A variável x(t) é posição (unidade de comprimento, por exemplo \mathrm{m}).
  • A variável t é tempo (unidade \mathrm{s}).
  • Valores numéricos: c=3,0 e b=2,0 (as unidades devem ser determinadas em (a)).

Passo 2

Entendendo unidades por análise dimensional (como faço isso nos exames): a expressão x(t)=c\,t^{2}-b\,t^{3} deve ter ambos os termos com as mesmas unidades que x. Ou seja, cada termo tem unidade de comprimento, por exemplo \mathrm{m}.
Para o primeiro termo c\,t^{2}:
[c]\cdot[\!t\!]^{2}=[x]\quad\Rightarrow\quad [c]\cdot\mathrm{s}^{2}=\mathrm{m},
logo
[c]=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}.
Isto significa que c tem unidade de \mathrm{m/s^{2}}.
Para o segundo termo b\,t^{3}:
[b]\cdot[\!t\!]^{3}=[x]\quad\Rightarrow\quad [b]\cdot\mathrm{s}^{3}=\mathrm{m},
logo
[b]=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^{3}}}.
Isto significa que b tem unidade de \mathrm{m/s^{3}}.
Agora, com os valores numéricos fornecidos pelo enunciado, anotar as constantes com suas unidades:
c=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad b=2,0\\ \mathrm{m/s^{3}}.

Passo 3

Vou explicar o conceito de velocidade e por que a derivada aparece: a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é, a derivada de x(t) em relação a t: \mathrm{v}(t)=\dfrac{dx}{dt}. A aceleração é a taxa de variação da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição: \mathrm{a}(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\dfrac{d\mathrm{v}}{dt}.
Regra que uso (regra do poder/potência): se f(t)=k\,t^{n} com k constante e n inteiro, então f'(t)=k\,n\,t^{n-1}. Vou aplicar isso para obter \mathrm{v}(t) e \mathrm{a}(t).

Passo 4

Calcular a velocidade literal \mathrm{v}(t) fazendo a derivada de x(t):
x(t)=c\,t^{2}-b\,t^{3}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{v}(t)=\frac{dx}{dt}=2c\,t-3b\,t^{2}.
Explicando cada termo: derivei c\,t^{2} usando a regra 2c\,t e derivei -b\,t^{3} usando a regra -3b\,t^{2}. Unidade da velocidade: \mathrm{m/s}, pois [2c\,t]=(\mathrm{m/s^{2}})\cdot\mathrm{s}=\mathrm{m/s}.

Passo 5

Para achar os instantes de máximo/minimo da posição, encontro os pontos críticos onde \mathrm{v}(t)=0:
\mathrm{v}(t)=2c\,t-3b\,t^{2}=t\,(2c-3b\,t)=0.
As soluções são
t=0\qquad\text{ou}\qquad 2c-3b\,t=0\Rightarrow t=\frac{2c}{3b}.
O instante t=0 é o início (posição x(0)=0); o outro é
t=\frac{2c}{3b},
que é positivo se c e b são positivos (como é o caso dado). Para determinar se é máximo, uso a segunda derivada (aceleração) como teste.

Passo 6

Calcular a aceleração literal \mathrm{a}(t) (segunda derivada de x ou derivada de \mathrm{v}):
\mathrm{a}(t)=\frac{d\mathrm{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(2c\,t-3b\,t^{2}\big)=2c-6b\,t.
Unidade: \mathrm{m/s^{2}}, pois [2c]=\mathrm{m/s^{2}} e [6b\,t]=(\mathrm{m/s^{3}})\cdot\mathrm{s}=\mathrm{m/s^{2}}.
Avalio \mathrm{a}(t) no instante crítico t=\dfrac{2c}{3b}:
\mathrm{a}\!\left(\frac{2c}{3b}\right)=2c-6b\cdot\frac{2c}{3b}=2c-4c=-2c.
Como c>0 (aqui c=3,0), \mathrm{a}\!\left(\dfrac{2c}{3b}\right)=-2c<0. A segunda derivada negativa indica que a posição tem um máximo local naquele instante. Assim t=\dfrac{2c}{3b} é o instante do máximo de x(t).

Passo 7

Agora uso os valores numéricos c=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}} e b=2,0\\ \mathrm{m/s^{3}} para obter números:
  • Instante do máximo:
t=\frac{2c}{3b}=\frac{2\cdot 3,0}{3\cdot 2,0}=\frac{6,0}{6,0}=1,0\\ \mathrm{s}.
  • Posição nesse instante:
x(1,0)=c\,(1,0)^{2}-b\,(1,0)^{3}=3,0-2,0=1,0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade geral \mathrm{v}(t)=2c\,t-3b\,t^{2}. Avaliando em t=1,0\\ \mathrm{s}:
\mathrm{v}(1,0)=2\cdot 3,0\cdot 1,0 - 3\cdot 2,0\cdot 1,0^{2}=6,0-6,0=0,0\\ \mathrm{m/s},
o que confirma que é um ponto de retorno (velocidade nula no máximo).
  • Aceleração geral \mathrm{a}(t)=2c-6b\,t. Avaliando em t=1,0\\ \mathrm{s}:
\mathrm{a}(1,0)=2\cdot 3,0 -6\cdot 2,0\cdot 1,0=6,0-12,0=-6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Resumo final — interpretação física curta para te acalmar: a partícula parte de x=0 em t=0, sobe até x=1,0\\ \mathrm{m} em t=1,0\\ \mathrm{s} com velocidade nula nesse instante (virada do movimento) e está acelerando no sentido negativo ali (aceleração -6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}), o que faz com que depois ela volte em direção a x menores.

Resposta

(a) [c]=\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^{2}}},\quad [b]=\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^{3}}} e com os valores dados c=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}},\\ b=2,0\\ \mathrm{m/s^{3}}.
(b) t=\dfrac{2c}{3b}=1,0\\ \mathrm{s}.
(c) \mathrm{v}(t)=2c\,t-3b\,t^{2}. \mathrm{v}(1,0)=0,0\\ \mathrm{m/s}.
(d) \mathrm{a}(t)=2c-6b\,t. \mathrm{a}(1,0)=-6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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