Questão 4 - A função horária de uma partícula em movimento unidimensional é dada pela expressão:
. (a) Quais são as unidades das constantes
e
? Considere que
e
assumam os valores numéricos 3,0 e 2,0 respectivamente. (b) Determina o instante em que a partícula passa pelo maior valor positivo de x . (c) Obtenha a função
literal. Qual o valor da velocidade da partícula no instante acima? (d) Obtenha a função a(t) literal. Qual a aceleração da partícula no instante determinado no item b?
Passo 1
O enunciado dá a função horária unidimensional
onde
e
são constantes. Pede-se:
- (a) as unidades de
e de . Considerar os valores numéricos e . - (b) o instante em que a partícula passa pelo maior valor positivo de
. - (c) obter a função
de forma literal e calcular a velocidade no instante achado em (b). - (d) obter a função
de forma literal e calcular a aceleração no instante achado em (b).
Informações relevantes dadas:
- A variável
é posição (unidade de comprimento, por exemplo ). - A variável
é tempo (unidade ). - Valores numéricos:
e (as unidades devem ser determinadas em (a)).
Passo 2
Entendendo unidades por análise dimensional (como faço isso nos exames): a expressão
deve ter ambos os termos com as mesmas unidades que
. Ou seja, cada termo tem unidade de comprimento, por exemplo
.
Para o primeiro termo
:
logo
Isto significa que
tem unidade de
.
Para o segundo termo
:
logo
Isto significa que
tem unidade de
.
Agora, com os valores numéricos fornecidos pelo enunciado, anotar as constantes com suas unidades:
Passo 3
Vou explicar o conceito de velocidade e por que a derivada aparece: a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é, a derivada de
em relação a
:
. A aceleração é a taxa de variação da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição:
.
Regra que uso (regra do poder/potência): se
com
constante e
inteiro, então
. Vou aplicar isso para obter
e
.
Passo 4
Calcular a velocidade literal
fazendo a derivada de
:
Explicando cada termo: derivei
usando a regra
e derivei
usando a regra
. Unidade da velocidade:
, pois
.
Passo 5
Para achar os instantes de máximo/minimo da posição, encontro os pontos críticos onde
:
As soluções são
O instante
é o início (posição
); o outro é
que é positivo se
e
são positivos (como é o caso dado). Para determinar se é máximo, uso a segunda derivada (aceleração) como teste.
Passo 6
Calcular a aceleração literal
(segunda derivada de
ou derivada de
):
Unidade:
, pois
e
.
Avalio
no instante crítico
:
Como
(aqui
),
. A segunda derivada negativa indica que a posição tem um máximo local naquele instante. Assim
é o instante do máximo de
.
Passo 7
Agora uso os valores numéricos
e
para obter números:
- Instante do máximo:
- Posição nesse instante:
- Velocidade geral
. Avaliando em :
o que confirma que é um ponto de retorno (velocidade nula no máximo).
- Aceleração geral
. Avaliando em :
Passo 8
Resumo final — interpretação física curta para te acalmar: a partícula parte de
em
, sobe até
em
com velocidade nula nesse instante (virada do movimento) e está acelerando no sentido negativo ali (aceleração
), o que faz com que depois ela volte em direção a
menores.
Resposta
(a)
e com os valores dados
.
(b) .
(c) .
.
(d) .
.
(b)
(c)
(d)