Questão 7. Dois corpos rígidos, um cilindro maciço e um aro circular possuem a mesma massa e o mesmo diâmetro. Partindo do repouso, ambos descem o mesmo plano inclinado de tal forma que o tempo para percorrer toda a extensão do plano seja mínimo, rolando sem deslizar.
Assinale a alternativa correta em relação ao valor da velocidade de translação do centro de massa do cilindro e do aro na extremidade inferior do plano inclinado.
a) Os dois possuem velocidades com o mesmo valor.
b) O valor da velocidade do cilindro é menor do que o valor da velocidade do aro.
c) O valor da velocidade do aro é menor do que o valor da velocidade do cilindro.
d) Nada se pode afirmar, pois a velocidade depende do coeficiente de atrito.

Passo 1

O enunciado apresenta dois corpos rígidos (um cilindro maciço e um aro circular) de mesma massa m e mesmo diâmetro 2R, que rolam sem deslizar descendo um plano inclinado de altura h. Pede-se comparar as velocidades de translação dos centros de massa ao atingirem o fundo. O conteúdo aqui é conservação de energia com parte cinética translacional e rotacional, usando a condição de não deslizamento v=R\omega.

Passo 2

Aplicamos a conservação da energia mecânica entre o topo (energia potencial mgh e energia cinética nula) e o fundo (energia potencial zero mais energias cinéticas translacional e rotacional):
mgh = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\,I\,\omega^2.
Como não há deslizamento, temos \omega = \tfrac{v}{R}. Então
mgh = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\,I\Bigl(\tfrac{v}{R}\Bigr)^{2} = \tfrac12\,m\,v^2\Bigl(1 + \tfrac{I}{mR^2}\Bigr).

Passo 3

Isolando v^2, obtemos a expressão geral
v^2 = \frac{2\,mgh}{m\bigl(1 + \tfrac{I}{mR^2}\bigr)} = \frac{2\,gh}{1 + \tfrac{I}{mR^2}}.

Passo 4

Para o cilindro maciço, I_{\rm cil} = \tfrac12\,mR^2. Substituindo:
v_{\rm cil}^2 = \frac{2\,gh}{1 + \tfrac{1}{2}} = \frac{2\,gh}{\tfrac32} = \frac{4}{3}\,gh,
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v_{\rm cil} = \sqrt{\tfrac{4}{3}\,gh}.

Passo 5

Para o aro circular, I_{\rm aro} = mR^2. Substituindo:
v_{\rm aro}^2 = \frac{2\,gh}{1 + 1} = \frac{2\,gh}{2} = gh,
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v_{\rm aro} = \sqrt{gh}.

Passo 6

Comparando \sqrt{\tfrac{4}{3}\,gh} > \sqrt{gh}, concluímos que
v_{\rm cil} > v_{\rm aro}.

Resposta

c) O valor da velocidade do aro é menor do que o valor da velocidade do cilindro.

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