Questão 3 - Duas cargas iguais de 3,0 \times 10^{-6} \mathrm{C}, exercem uma força de 0,9 \mathrm{~N}.
a) Determine a distância entre elas.
b) Explique o papel da constante eletrostática nesse cálculo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Cargas iguais: q_1 = q_2 = 3{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • Força elétrica entre elas: F = 0{,}9\\ \mathrm{N}.
  • O enunciado pede:
    • (a) Determinar a distância entre as duas cargas, isto é, encontrar r.
    • (b) Explicar o papel da constante eletrostática no cálculo (qual é, por que aparece e o que representa).

Passo 2

Apresentar a lei que relaciona força, cargas e distância (fórmula que vou usar) e explicar cada símbolo.
A lei de Coulomb diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2},
onde:
  • F é a magnitude da força elétrica (em newtons, \mathrm{N});
  • q_1 e q_2 são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m});
  • k é a constante eletrostática no vácuo, com unidade \mathrm{N\cdot m^2\!/\!C^2}. Numericamente, k\approx 8{,}99\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2\!/\!C^2} (frequentemente aproximada por 9{,}0\times10^{9}).
Breve comentário didático: a fórmula mostra que a força cai com o quadrado da distância ( \propto 1/r^2) e cresce proporcionalmente ao produto das cargas ( \propto q_1 q_2).

Passo 3

Isolar r na fórmula para obter uma expressão que posso calcular.
A partir de
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2},
isolamos r^2:
r^2 = k\,\frac{q_1 q_2}{F}.
Portanto
r = \sqrt{\,k\,\frac{q_1 q_2}{F}\,}.
Isto é só álgebra básica: multiplique ambos os lados por r^2, divida por F e depois tire raiz quadrada.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e organizar as potências de dez sem usar calculadora complicada — mostrar passo a passo com notação científica.
Temos q_1 = q_2 = 3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, então
q_1 q_2 = (3{,}0\times10^{-6})\,(3{,}0\times10^{-6}) = 9{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2}.
Usarei a aproximação comum k \approx 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2\!/\!C^2} para facilitar contas manuais (mais abaixo mostro a diferença se usar 8{,}99\times10^{9}). Substituindo em
r^2 = k\,\frac{q_1 q_2}{F}
obtemos
r^2 = (9{,}0\times10^{9})\frac{9{,}0\times10^{-12}}{0{,}9}.
Agora simplifico passo a passo:
  • Produto 9{,}0\times 9{,}0 = 81{,}0.
  • Potências: 10^{9}\cdot10^{-12} = 10^{-3}.
    Logo o numerador fica 81{,}0\times10^{-3} = 8{,}1\times10^{-2}.
  • Dividindo por 0{,}9 (que é 9{,}0\times10^{-1}) dá
r^2 = \frac{8{,}1\times10^{-2}}{0{,}9} = 9{,}0\times10^{-2} = 0{,}09.
Portanto
r = \sqrt{0{,}09} = 0{,}30\\ \mathrm{m}.
Observação sobre precisão: se em vez de 9{,}0\times10^{9} usar k=8{,}99\times10^{9}, o cálculo dá
r = \sqrt{\frac{8{,}99\times10^{9}\cdot 9{,}0\times10^{-12}}{0{,}9}} = \sqrt{0{,}0899\ldots}\approx 0{,}2998\\ \mathrm{m},
praticamente 0{,}30\\ \mathrm{m}. Ou seja, a aproximação fez uma diferença insignificante aqui.

Passo 5

Checar dimensões (análise dimensional) para confirmar que o resultado tem unidade de metro — um truque útil em prova.
Na expressão
r^2 = k\,\frac{q_1 q_2}{F},
as unidades de k são \mathrm{N\cdot m^2\!/\!C^2}, de q_1 q_2 são \mathrm{C^2} e de F são \mathrm{N}. Cancelando fica \mathrm{m^2}, logo r tem unidade \mathrm{m}. Isso confirma que a fórmula está consistente dimensionalmente.

Passo 6

Explicar de forma didática e intuitiva o papel da constante eletrostática k (resposta à parte (b)).
  • O que é k? É a constante que transforma o produto das cargas dividido pelo quadrado da distância em uma força com unidades corretas. Numericamente, k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, onde \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo. Em SI, \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2\!/\!(N\cdot m^2)}, daí k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2\!/\!C^2}.
  • Por que aparece? Porque a força elétrica não depende só das cargas e da distância, mas também do meio em que as cargas estão. A relação F\propto q_1 q_2/r^2 precisa de um fator de proporcionalidade numérico e dimensional para dar a força em newtons; esse fator é k. Em um meio diferente do vácuo, a constante efetiva é k_{\text{meio}} = 1/(4\pi\varepsilon), onde \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r e \varepsilon_r (permitividade relativa) reduz a força.
  • Intuição física simples: k determina a “força de escala” da interação elétrica. Maior k → forças maiores para mesmas cargas/distância. Em materiais com alta permitividade relativa ( \varepsilon_r>1) a força entre cargas fica atenuada.
  • Papel no cálculo prático: numericamente, sem k não dá para converter q_1 q_2/r^2 em newtons; no exemplo, k foi essencial para obter r=0{,}30\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) r = 0{,}30\\ \mathrm{m}
(b) A constante eletrostática k (onde k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2\!/\!C^2}, frequentemente arredondada para 9{,}0\times10^{9}) é o fator de proporcionalidade da lei de Coulomb. Ela converte o produto das cargas dividido por r^2 numa força em newtons e incorpora a propriedade do meio (no vácuo k=1/(4\pi\varepsilon_0)).

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