Suponha que uma partícula se move na direção
de acordo com a equação
onde as distâncias são medidas em metros, os tempos são medidos em segundos e as constantes
,
e
têm os seguintes valores:
a) Determine a velocidade instantánea como função do tempo
.
) Encontre os pontos do gráfico
vs
em que as retas tangentes sejam paralelas ao eixo
. Qual é a velocidade instantánea da partícula nos instantes correspondentes a esses pontos?
) Calcule a segunda derivada da função
em relação ao tempo e use essa informação para determinar a aceleração no instante
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
- A função posição é
- As constantes valem
O enunciado pede:
a) Determinar a velocidade instantânea como função do tempo .
b) Encontrar os pontos do gráfico versus
onde as retas tangentes são paralelas ao eixo
(ou seja, tangentes horizontais) e informar a velocidade instantânea nesses instantes.
c) Calcular a segunda derivada de (ou seja, a aceleração como função do tempo) e determinar a aceleração no instante
.
a) Determinar a velocidade instantânea como função do tempo
b) Encontrar os pontos do gráfico
c) Calcular a segunda derivada de
Passo 2
Derivar
para obter a velocidade instantânea
. Vou explicar a ideia e a regra que uso.
Lembrete rápido (regra usada): a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de
é
(regra do “expoente para frente”), e constantes multiplicativas saem da derivada. Por exemplo,
.
Aplicando isso a cada termo de
:
derivando termo a termo obtemos
Simplificando os fatores:
Agora substituo os valores numéricos (mantendo unidades):
Logo
Explicação física curta:
é a inclinação da curva
vs
em cada instante — a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Encontrar os pontos onde a reta tangente a
é paralela ao eixo
. Isso significa achar
tais que a inclinação da tangente é zero, isto é,
.
Parto da expressão encontrada:
Coloco em forma padrão de quadrática:
Multiplico por
(para eliminar decimais) e obtenho uma equação equivalente:
Resolvo pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
as raízes são
. Aqui
e
, então
Podemos simplificar
, portanto
Cálculos numéricos (aproximação):
Assim as duas raízes são aproximadamente
Esses são os instantes em que a tangente é horizontal. A velocidade instantânea nesses instantes é, por construção,
.
O enunciado pede também os pontos do gráfico
vs
, isto é, as coordenadas
. Precisamos calcular
nesses instantes.
Para evitar muita conta direta com potências cúbicas, uso uma identidade útil válida exatamente nas raízes: como as raízes satisfazem
, temos
Multiplicando por
obtemos
Substituindo novamente
dá
Agora escrevo
com os coeficientes numéricos: lembrando
e
,
Substituo as expressões de
e
(válidas para as raízes):
Agora simplifico passo a passo:
-
. -
. -
.
Portanto
Como
, então
Logo, para as duas raízes
temos a expressão conveniente
Posso dar valores numéricos:
- Para
:
- Para
:
Resumo deste passo: as tangentes horizontais ocorrem em
e
; as velocidades nesses instantes são
; as coordenadas dos pontos no gráfico são aproximadamente
e
.
Passo 4
Calcular a segunda derivada de
, que é a aceleração
, e avaliar em
. Explico a regra: derivar de novo a expressão de
termo a termo.
Começo de
. Derivando:
Interpretando:
é uma função afim (linear) do tempo — cresce ou decresce linearmente com
conforme o coeficiente
.
Substituo os valores numéricos:
Avalio em
:
Interpretação física: no instante
a aceleração instantânea vale
.
Resposta
(a)
(b) As tangentes são horizontais em
, isto é,
e
.
Os pontos no gráfico são aproximadamente e
.
As velocidades instantâneas nesses instantes são .
Os pontos no gráfico são aproximadamente
As velocidades instantâneas nesses instantes são
(c)
.
Logo .
Logo