Suponha que uma partícula se move na direção X de acordo com a equação
x(t)=x_{o}+v_{o} t+\frac{a_{o}}{2} t^{2}+\frac{b_{o}}{6} t^{3}
onde as distâncias são medidas em metros, os tempos são medidos em segundos e as constantes x_{o}, v_{o}, a_{o} e b_{o} têm os seguintes valores:
x_{o}=50,0 \mathrm{~m}, \quad v_{o}=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \quad a_{o}=2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad b_{o}=-1,00 \times 10^{-1} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}
a) Determine a velocidade instantánea como função do tempo t.
b ) Encontre os pontos do gráfico x vs t em que as retas tangentes sejam paralelas ao eixo t. Qual é a velocidade instantánea da partícula nos instantes correspondentes a esses pontos?
c ) Calcule a segunda derivada da função x(t) em relação ao tempo e use essa informação para determinar a aceleração no instante t=1,00 \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • A função posição é x(t)=x_{0}+v_{0}\,t+\frac{a_{0}}{2}\,t^{2}+\frac{b_{0}}{6}\,t^{3}.
  • As constantes valem
x_{0}=50,0\\ \mathrm{m},\qquad v_{0}=10,0\\ \mathrm{m/s},\qquad a_{0}=2,00\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad b_{0}=-1,00\times10^{-1}\\ \mathrm{m/s^{3}}.
O enunciado pede:
a) Determinar a velocidade instantânea como função do tempo t.
b) Encontrar os pontos do gráfico x versus t onde as retas tangentes são paralelas ao eixo t (ou seja, tangentes horizontais) e informar a velocidade instantânea nesses instantes.
c) Calcular a segunda derivada de x(t) (ou seja, a aceleração como função do tempo) e determinar a aceleração no instante t=1,00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Derivar x(t) para obter a velocidade instantânea v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Vou explicar a ideia e a regra que uso.
Lembrete rápido (regra usada): a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1} (regra do “expoente para frente”), e constantes multiplicativas saem da derivada. Por exemplo, \dfrac{d}{dt}\big(c\,t^{3}\big)=c\cdot 3 t^{2}.
Aplicando isso a cada termo de x(t):
x(t)=x_{0}+v_{0}\,t+\frac{a_{0}}{2}\,t^{2}+\frac{b_{0}}{6}\,t^{3},
derivando termo a termo obtemos
v(t)=\frac{dx}{dt}=0 + v_{0} + \frac{a_{0}}{2}\cdot 2 t + \frac{b_{0}}{6}\cdot 3 t^{2}.
Simplificando os fatores:
v(t)=v_{0}+a_{0}\,t+\frac{b_{0}}{2}\,t^{2}.
Agora substituo os valores numéricos (mantendo unidades):
v_{0}=10,0\\ \mathrm{m/s},\quad a_{0}=2,00\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad b_{0}=-1,00\times10^{-1}\\ \mathrm{m/s^{3}}.
Logo
v(t)=10,0 + 2,00\,t + \frac{-0,100}{2}\,t^{2}.
v(t)=10,0 + 2,00\,t -0,05\,t^{2}\qquad(\mathrm{m/s}).
Explicação física curta: v(t) é a inclinação da curva x vs t em cada instante — a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 3

Encontrar os pontos onde a reta tangente a x(t) é paralela ao eixo t. Isso significa achar t tais que a inclinação da tangente é zero, isto é, v(t)=0.
Parto da expressão encontrada:
v(t)=10,0 + 2,00\,t -0,05\,t^{2}.
Coloco em forma padrão de quadrática:
-0,05\,t^{2} + 2,00\,t + 10,0 = 0.
Multiplico por -20 (para eliminar decimais) e obtenho uma equação equivalente:
t^{2} -40\,t -200 = 0.
Resolvo pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \,t^{2}+p\,t+q=0 as raízes são t=\dfrac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}. Aqui p=-40 e q=-200, então
t=\frac{40\pm\sqrt{(-40)^{2}-4\cdot1\cdot(-200)}}{2} =\frac{40\pm\sqrt{1600+800}}{2} =\frac{40\pm\sqrt{2400}}{2}.
Podemos simplificar \sqrt{2400}=\sqrt{16\cdot150}=4\sqrt{150}, portanto
t=20\pm 2\sqrt{150}.
Cálculos numéricos (aproximação):
\sqrt{150}\approx 12,24744871\quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{150}\approx 24,49489743.
Assim as duas raízes são aproximadamente
t_{1}=20-2\sqrt{150}\approx -4,4949\\ \mathrm{s}, \qquad t_{2}=20+2\sqrt{150}\approx 44,4949\\ \mathrm{s}.
Esses são os instantes em que a tangente é horizontal. A velocidade instantânea nesses instantes é, por construção, v(t_{1})=v(t_{2})=0\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede também os pontos do gráfico x vs t, isto é, as coordenadas (t,x(t)). Precisamos calcular x(t) nesses instantes.
Para evitar muita conta direta com potências cúbicas, uso uma identidade útil válida exatamente nas raízes: como as raízes satisfazem t^{2}-40t-200=0, temos
t^{2}=40t+200.
Multiplicando por t obtemos
t^{3}=t\cdot t^{2}=t(40t+200)=40t^{2}+200t.
Substituindo novamente t^{2}=40t+200
t^{3}=40(40t+200)+200t=1800t+8000.
Agora escrevo x(t) com os coeficientes numéricos: lembrando a_{0}/2=1,00 e b_{0}/6=-0,1/6=-\tfrac{1}{60},
x(t)=50,0 + 10,0\,t + 1,00\,t^{2} -\frac{1}{60}\,t^{3}.
Substituo as expressões de t^{2} e t^{3} (válidas para as raízes):
x(t)=50,0 + 10,0\,t + (40t+200) -\frac{1}{60}(1800t+8000).
Agora simplifico passo a passo:
  • 50,0 + 200 = 250,0.
  • 10,0\,t + 40t = 50t.
  • \dfrac{1}{60}(1800t+8000)=30t+\dfrac{8000}{60}=30t+\dfrac{400}{3}.
Portanto
x(t)=250,0 + 50t -\big(30t+\tfrac{400}{3}\big) =250,0 + 20t -\tfrac{400}{3}.
Como 250,0=\tfrac{750}{3}, então
x(t)=\tfrac{750}{3}-\tfrac{400}{3}+20t=\tfrac{350}{3}+20t.
Logo, para as duas raízes t=20\pm 2\sqrt{150} temos a expressão conveniente
x\big(20\pm 2\sqrt{150}\big)=\tfrac{350}{3}+20\big(20\pm 2\sqrt{150}\big).
Posso dar valores numéricos:
  • Para t_{1}\approx -4,4949\\ \mathrm{s}:
x(t_{1})\approx \tfrac{350}{3}+20(-4,49489743)\approx 116,6667 -89,8979\approx 26,7687\\ \mathrm{m}.
  • Para t_{2}\approx 44,4949\\ \mathrm{s}:
x(t_{2})\approx 116,6667 +20(44,49489743)\approx 116,6667 +889,8979\approx 1006,5646\\ \mathrm{m}.
Resumo deste passo: as tangentes horizontais ocorrem em t\approx -4,4949\\ \mathrm{s} e t\approx 44,4949\\ \mathrm{s}; as velocidades nesses instantes são 0\\ \mathrm{m/s}; as coordenadas dos pontos no gráfico são aproximadamente ( -4,4949\\ \mathrm{s},\\\ 26,7687\\ \mathrm{m} ) e (44,4949\\ \mathrm{s},\\\ 1006,5646\\ \mathrm{m} ).

Passo 4

Calcular a segunda derivada de x(t), que é a aceleração a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\dfrac{dv}{dt}, e avaliar em t=1,00\\ \mathrm{s}. Explico a regra: derivar de novo a expressão de v(t) termo a termo.
Começo de v(t)=v_{0}+a_{0}\,t+\dfrac{b_{0}}{2}\,t^{2}. Derivando:
a(t)=\frac{dv}{dt}=0 + a_{0} + \frac{b_{0}}{2}\cdot 2 t = a_{0}+b_{0}\,t.
Interpretando: a(t) é uma função afim (linear) do tempo — cresce ou decresce linearmente com t conforme o coeficiente b_{0}.
Substituo os valores numéricos:
a(t)=2,00 + (-0,100)\,t = 2,00 -0,100\,t\qquad(\mathrm{m/s^{2}}).
Avalio em t=1,00\\ \mathrm{s}:
a(1,00)=2,00 -0,100\cdot 1,00 = 1,90\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação física: no instante 1,00\\ \mathrm{s} a aceleração instantânea vale 1,90\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) v(t)=10,0 + 2,00\,t -0,05\,t^{2} \mathrm{(m/s)}
(b) As tangentes são horizontais em t=20\pm 2\sqrt{150}, isto é, t\approx -4,4949\\ \mathrm{s} e t\approx 44,4949\\ \mathrm{s}.
Os pontos no gráfico são aproximadamente ( -4,4949\\ \mathrm{s},\\\ 26,7687\\ \mathrm{m} ) e (44,4949\\ \mathrm{s},\\\ 1006,5646\\ \mathrm{m} ).
As velocidades instantâneas nesses instantes são v=0\\ \mathrm{m/s}.
(c) a(t)=a_{0}+b_{0}\,t=2,00-0,100\,t \mathrm{(m/s^{2})}.
Logo a(1,00)=1,90\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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