Questão 1 - Duas cargas elétricas puntiformes iguais de 5,0 \times 10^{-6} \mathrm{C}, estão separadas por 2 m no vácuo.
a) Calcule a força elétrica entre elas.
b) Se a distância for reduzida à metade, o que acontece com a força?
c) Explique com base na Lei de Coulomb.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
  • Duas cargas puntiformes iguais: \,q_1 = q_2 = 5,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Separação entre elas: \,r = 2\\ \mathrm{m}.
  • Meia-ambiente: vácuo (portanto usar a constante eletrostática do vácuo).
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a força elétrica entre as cargas (módulo e direção).
(b) Dizer o que acontece com a força se a distância for reduzida à metade.
(c) Explicar essa mudança com base na Lei de Coulomb.

Passo 2

Apresentar a Lei de Coulomb e explicar cada termo (aula rapidinha e prática).
A Lei de Coulomb diz que a magnitude da força elétrica entre duas cargas puntiformes no vácuo é
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • \,F é o módulo da força elétrica (em newtons, \mathrm{N});
  • \,k é a constante eletrostática no vácuo, com valor \,k = 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}};
  • \,q_1 e \,q_2 são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • \,r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m}).
Observações didáticas:
  • A fórmula dá o módulo; a direção depende do sinal das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem (força dirigida para fora, cada uma é empurrada para longe da outra) e cargas de sinais opostos se atraem.
  • A dependência \propto 1/r^2 significa que a força decai rapidamente com a distância (lei do inverso do quadrado).
  • Em provas rápidas, pode-se usar racionalmente a proporcionalidade para comparar forças sem recalcular tudo.

Passo 3

Calcular a força para o caso dado (parte a), com contas passo a passo.
Substituindo os valores na fórmula:
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2} = \left(8{,}99\times10^{9}\right)\frac{\left(5{,}0\times10^{-6}\right)\left(5{,}0\times10^{-6}\right)}{(2)^2}.
Vamos organizar as potências de dez e os coeficientes separadamente.
Primeiro o produto das cargas:
q_1 q_2 = (5{,}0\times10^{-6})\,(5{,}0\times10^{-6}) = 25{,}0\times10^{-12} = 2{,}50\times10^{-11}.
Agora o numerador com k:
k\,(q_1 q_2) = 8{,}99\times10^{9}\times2{,}50\times10^{-11}.
Multiplicando os coeficientes e somando os expoentes:
8{,}99\times2{,}50 = 22{,}475,\qquad 10^{9}\times10^{-11}=10^{-2}.
Logo
k\,(q_1 q_2) = 22{,}475\times10^{-2} = 0{,}22475.
Agora dividir por r^2=(2)^2=4:
F = \frac{0{,}22475}{4} = 0{,}0561875\\ \mathrm{N}.
Arredondando com uma precisão adequada (dados têm duas casas significativas em 5{,}0\times10^{-6}), podemos escrever
F \approx 5{,}62\times10^{-2}\\ \mathrm{N}.
Direção: como ambas as cargas são positivas (mesmo sinal), a força é repulsiva — cada carga sente uma força de módulo F apontando para longe da outra carga.

Passo 4

Resposta para a parte (b): distância reduzida à metade — cálculo direto e comentário rápido usando proporcionalidade.
Se a distância for reduzida à metade, a nova distância é \,r' = \dfrac{r}{2} = 1\\ \mathrm{m}.
Aplicando Coulomb,
F' = k\,\frac{q_1 q_2}{(r')^2} = k\,\frac{q_1 q_2}{(r/2)^2} = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2/4} = 4\,k\,\frac{q_1 q_2}{r^2} = 4F.
Portanto a força fica 4 vezes maior. Numericamente,
F' = 4\times0{,}0561875\\ \mathrm{N} \approx 0{,}22475\\ \mathrm{N}\approx 2{,}25\times10^{-1}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Explicação conceitual e intuição (parte c) — por que acontece isso segundo a Lei de Coulomb.
  • Matemática direta: a Lei de Coulomb tem o fator 1/r^2; se r é dividido por 2, então 1/r^2 fica multiplicado por 1/(1/2)^2=4. Assim a força aumenta por um fator 4.
  • Intuição física simples: pense nas linhas de campo elétrico emanando de uma carga; a densidade de linhas por unidade de área que atravessa uma esfera de raio r é proporcional a 1/r^2 (área da esfera cresce como 4\pi r^2). Ao reduzir r pela metade, a mesma quantidade de “influência” fica concentrada numa área 4 vezes menor, então a interação com a outra carga é 4 vezes maior.
  • Conclusão prática para provas: para comparar forças quando só a distância muda, usar rapidamente a regra F\propto1/r^2 evita cálculo completo.

Resposta

(a) F \approx 5{,}62\times10^{-2}\\ \mathrm{N} (módulo); a força é repulsiva (as cargas são positivas).
(b) A força fica 4 vezes maior; F' \approx 2{,}25\times10^{-1}\\ \mathrm{N}.
(c) Pelo enunciado da Lei de Coulomb \;F=k\displaystyle\frac{q_1q_2}{r^2}\;, logo F\propto1/r^2; se r é reduzido à metade, (1/(r/2)^2)=4(1/r^2), portanto F'\!=\!4F.

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