Questão 5 - Duas cargas interagem com forças \mathrm{F}_{1} e \mathrm{F}_{2}.
a) Explique como o valor da carga influencia a intensidade da força.
b) O que ocorre se a distância entre elas for triplicada?
c) Justifique matematicamente.

Passo 1

O enunciado informa que duas cargas elétricas interagem entre si e que as forças entre elas são \mathrm{F}_{1} e \mathrm{F}_{2}. As perguntas são:
a) Explicar como o valor da(s) carga(s) influencia(m) a intensidade da força elétrica entre elas.
b) Dizer o que ocorre se a distância entre as cargas for triplicada.
c) Justificar matematicamente as respostas anteriores.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado e necessárias para resolver):
  • Existem duas cargas, que chamaremos de \,q_1 e \,q_2.
  • A distância entre elas é \,r.
  • As forças de interação estão indicadas como \mathrm{F}_{1} e \mathrm{F}_{2} (para a magnitude usamos \,F).
  • Não há outros dados numéricos fornecidos; usaremos a lei fundamental que relaciona cargas, distância e força para justificar as respostas.

Passo 2

Apresentar a lei que relaciona cargas, distância e força (fórmula e significado das variáveis).
A lei que descreve a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntiformes é a lei de Coulomb. A magnitude da força eletrostática é dada por:
F = k\,\frac{|q_1\,q_2|}{r^{2}}
onde:
  • F é a magnitude da força elétrica (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática no meio (no vácuo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, numericamente k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}});
  • q_1 e q_2 são os valores algébricos das cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m});
  • O valor absoluto |q_1 q_2| aparece porque esta expressão dá a magnitude da força; o sinal dos produtos (q_1 q_2) determina se a força é atrativa (sinais opostos) ou repulsiva (mesmo sinal).
Explicação verbal: a força cresce quando o produto |q_1 q_2| aumenta e decresce quando a distância r aumenta, seguindo uma dependência inversa com o quadrado da distância (lei do inverso do quadrado).

Passo 3

Como o valor de uma carga individual influencia a força — caso em que só uma carga muda.
Considere que apenas q_1 é alterada para q_1'=\alpha\,q_1, com \alpha um fator real positivo (por exemplo, \alpha=2 significa dobrar q_1). A nova força F' terá magnitude
F' = k\,\frac{|q_1'\,q_2|}{r^{2}} = k\,\frac{|\alpha\,q_1\,q_2|}{r^{2}} = \alpha\;k\,\frac{|q_1\,q_2|}{r^{2}}.
Logo vale
F'=\alpha\,F.
Isto significa que:
  • Se \alpha=2 (dobrar q_1), então F' dobra: F'=2F.
  • Se \alpha=\tfrac{1}{2} (metade de q_1), então F'=\tfrac{1}{2}F.
  • Se o sinal de q_1 muda (por exemplo q_1'=-q_1), a magnitude F permanece igual (pois usamos valor absoluto) mas o produto q_1'q_2 muda de sinal, o que muda a direção física da força (atração ↔ repulsão).
Resumo didático: a força é diretamente proporcional ao valor de cada carga individual; multiplicar uma carga por um fator \alpha multiplica a força por \alpha.

Passo 4

Como a variação de ambas as cargas afeta a força.
Se ambas as cargas são escaladas por um mesmo fator \alpha: q_1'=\alpha q_1 e q_2'=\alpha q_2, então
F' = k\,\frac{|q_1'\,q_2'|}{r^{2}} = k\,\frac{|\alpha q_1\;\alpha q_2|}{r^{2}} = \alpha^{2}\;k\,\frac{|q_1\,q_2|}{r^{2}}.
Portanto
F'=\alpha^{2}F.
Exemplos: se as duas cargas são dobradas ( \alpha=2), a força aumenta por um fator 4 (quadrupla); se ambas são multiplicadas por \tfrac{1}{3}, a força diminui por um fator \tfrac{1}{9}.

Passo 5

O que ocorre quando a distância entre as cargas é triplicada (resposta à parte b com intuição).
Se a distância passa de r para r'=3r, mantendo as cargas fixas, a nova força F' será
F' = k\,\frac{|q_1 q_2|}{(r')^{2}} = k\,\frac{|q_1 q_2|}{(3r)^{2}} = k\,\frac{|q_1 q_2|}{9\,r^{2}}.
Portanto
F' = \frac{1}{9}\,F.
Interpretação: triplicar a distância reduz a força para um nono do valor original — a dependência é de inverso do quadrado, então fator 3 na distância → fator 3^{2}=9 na diminuição da força.

Passo 6

Justificativa matemática geral (resumida em razão) e aplicação às perguntas.
A razão entre uma nova força F' (com cargas q_1',q_2' e separação r') e a força original F é:
\frac{F'}{F}=\frac{k\,\dfrac{|q_1' q_2'|}{(r')^{2}}}{k\,\dfrac{|q_1 q_2|}{r^{2}}} =\frac{|q_1' q_2'|}{|q_1 q_2|}\cdot\frac{r^{2}}{(r')^{2}}.
Usando essa fórmula:
  • Para variação de uma carga só: coloque q_1'=\alpha q_1 e q_2'=q_2 e obtém-se \dfrac{F'}{F}=\alpha. (Isso responde a) matematicamente.)
  • Para a distância triplicada: coloque r'=3r e q_1'=q_1,\\ q_2'=q_2 e obtém-se \dfrac{F'}{F}=\dfrac{r^{2}}{(3r)^{2}}=\dfrac{1}{9}. (Isso responde b) e c).)
Também vale lembrar: o sinal de q_1 q_2 determina a direção (atração ou repulsão), mas a fórmula acima usa valor absoluto para a magnitude; para forças vetoriais completas escreveria-se
\mathbf{F}_{12}=k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}_{12},
onde \hat{\mathbf{r}}_{12} é o versor do ponto 1 em relação ao 2 (isso mostra explicitamente o papel do sinal na direção).

Resposta

a) A intensidade da força é diretamente proporcional ao produto das cargas: F\propto|q_1 q_2|. Se uma carga for multiplicada por \alpha, a força é multiplicada por \alpha. O sinal do produto q_1 q_2 determina se a força é atrativa (sinais opostos) ou repulsiva (mesmo sinal).
b) Ao triplicar a distância, a força diminui por um fator 9: F'=\dfrac{1}{9}F.
c) Justificação matemática: pela lei de Coulomb \;F=k\,\dfrac{|q_1 q_2|}{r^{2}}\;. Assim \dfrac{F'}{F}=\dfrac{|q_1' q_2'|}{|q_1 q_2|}\cdot\dfrac{r^{2}}{(r')^{2}}; para q_1'= \alpha q_1 obtemos F'=\alpha F; para r'=3r obtemos F'=\dfrac{1}{9}F.

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