Questão 3 - Dois laboratórios, L1 e L2, medem a mesma grandeza (unidades arbitrárias). Supõe-se que as populações são normalmente distribuídas e que as variâncias são desconhecidas. Foram obtidas amostras aleatórias independentes com os seguintes valores:
Amostra L1
: 12.4, 13.1, 11.8, 12.9, 13.5, 12.0, 11.6, 13.3, 12.7, 12.2, 13.0, 11.9, 12.5, 13.2, 12.1, 11.7, 12.8, 13.4, 12.3, 11.5
Amostra L2
:
,
Determine: a) Construa um intervalo de confiança bilateral de
para
. b) Interprete o intervalo no contexto: o que ele indica sobre a diferença entre os laboratórios?
Passo 1
O enunciado dá duas amostras independentes, de populações supostamente normais com variâncias desconhecidas, e pede: (a) construir um intervalo de confiança bilateral de
para
(diferença entre as médias dos laboratórios L1 e L2); (b) interpretar o intervalo no contexto — o que ele indica sobre a diferença entre os laboratórios?
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
- Amostra L1:
e observações . - Amostra L2:
e observações .
O que vamos calcular: um intervalo de confiança para
. Como as variâncias são desconhecidas e não foi dada a igualdade das variâncias, usaremos o procedimento de Welch (intervalo de diferença de médias com variâncias possivelmente diferentes).
Passo 2
Calcular as estatísticas amostrais essenciais: médias amostrais
e variâncias amostrais
. Vou mostrar como se faz e os cálculos numéricos.
Definições (rápido “aula”):
- A média amostral
é . - A variância amostral (estimador sem viés) é
. Uma forma prática de calcular é , que usarei aqui (evita somar muitos desvios).
Cálculos para L1:
- Soma das observações:
. Logo - Soma dos quadrados:
. Então E .
Cálculos para L2:
- Soma das observações:
. Logo - Soma dos quadrados:
. Então E .
Diferença de médias amostrais:
(Respira! Até aqui calculamos médias e variâncias da forma standard — passo importante.)
Passo 3
Escrever a fórmula do intervalo de confiança de Welch e explicar cada termo.
Fórmula (aula curtinha): para duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes, um intervalo de confiança bilateral de nível
para
é
Onde:
-
é a diferença entre as médias amostrais (ponto-estimador). -
e são as variâncias amostrais. -
são os tamanhos amostrais. -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade (critério de Student). - Os graus de liberdade
são aproximados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
Essa fórmula leva em conta a incerteza das duas variâncias amostrais; não assume igualdade de variâncias.
Passo 4
Calcular o erro padrão combinado e os graus de liberdade numéricos.
Erro padrão:
Calcule cada parcela:
Soma
. Portanto
Graus de liberdade (fórmula de Welch):
Calcular o numerador
Calcular o numerador
Calcular o denominador
Numéricos:
Somando dá aproximadamente
.
Portanto
Arredondamos os graus de liberdade para usar a tabela
; podemos usar
(ou simplesmente usar o valor fracionário para obter o quantil numericamente). Para confiança de
precisamos de
. Para
o valor crítico é aproximadamente
Passo 5
Calcular a margem de erro e o intervalo numérico.
Margem de erro:
Intervalo de confiança de
:
Logo
Arredondando de forma usual (duas casas decimais) obtemos aproximadamente
Passo 6
Interpretação didática (o que significa esse intervalo?): \n
- Um intervalo de confiança de
para igual a significa: se repetíssemos experimentos semelhantes muitas vezes e construíssemos intervalos do mesmo tipo, cerca de desses intervalos conteriam a verdadeira diferença . Aqui, com os dados que temos, o intervalo sugere que a média das medições do laboratório L1 é maior que a média do laboratório L2 em aproximadamente entre e unidades (com de confiança). \n - Observação prática importante: o intervalo inteiro está acima de
. Isso indica evidência forte de que (isto é, as medições de L1 são, em média, maiores do que as de L2). \n - Lembre-se das condições necessárias para confiar nessa conclusão: (i) as amostras são independentes (foram tomadas independentemente), (ii) as populações são aproximadamente normais (ou as amostras grandes o suficiente — aqui
são razoáveis), e (iii) usamos a versão de Welch porque as variâncias amostrais não foram assumidas iguais.
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
para
:
(b) Interpretação: O intervalo indica que, com de confiança, a média das medidas do laboratório L1 é entre
e
unidades maior do que a média do laboratório L2; como o intervalo não contém
, há evidência de que L1 produz medições maiores em média.
(b) Interpretação: O intervalo indica que, com