Questão 3 - Dois laboratórios, L1 e L2, medem a mesma grandeza (unidades arbitrárias). Supõe-se que as populações são normalmente distribuídas e que as variâncias são desconhecidas. Foram obtidas amostras aleatórias independentes com os seguintes valores:
Amostra L1 (\mathrm{n} 1=20) : 12.4, 13.1, 11.8, 12.9, 13.5, 12.0, 11.6, 13.3, 12.7, 12.2, 13.0, 11.9, 12.5, 13.2, 12.1, 11.7, 12.8, 13.4, 12.3, 11.5
Amostra L2 (\mathrm{n} 2=25) : 11.0,10.8,11.5,10.9,11.3,11.1,10.7,11.4,10.6,11.2,10.5,11.6, 10.4,11.7,10.3,11.8,10.2,11.9,10.1,12.0,10.0,11.0,10.8,11.3,10.7
Determine: a) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 \% para \mu_{1}-\mu_{2}. b) Interprete o intervalo no contexto: o que ele indica sobre a diferença entre os laboratórios?

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes, de populações supostamente normais com variâncias desconhecidas, e pede: (a) construir um intervalo de confiança bilateral de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2} (diferença entre as médias dos laboratórios L1 e L2); (b) interpretar o intervalo no contexto — o que ele indica sobre a diferença entre os laboratórios?
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
  • Amostra L1: n_1=20 e observações \,12{,}4,\;13{,}1,\;11{,}8,\;12{,}9,\;13{,}5,\;12{,}0,\;11{,}6,\;13{,}3,\;12{,}7,\;12{,}2,\;13{,}0,\;11{,}9,\;12{,}5,\;13{,}2,\;12{,}1,\;11{,}7,\;12{,}8,\;13{,}4,\;12{,}3,\;11{,}5.
  • Amostra L2: n_2=25 e observações \,11{,}0,\;10{,}8,\;11{,}5,\;10{,}9,\;11{,}3,\;11{,}1,\;10{,}7,\;11{,}4,\;10{,}6,\;11{,}2,\;10{,}5,\;11{,}6,\;10{,}4,\;11{,}7,\;10{,}3,\;11{,}8,\;10{,}2,\;11{,}9,\;10{,}1,\;12{,}0,\;10{,}0,\;11{,}0,\;10{,}8,\;11{,}3,\;10{,}7.
O que vamos calcular: um intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2. Como as variâncias são desconhecidas e não foi dada a igualdade das variâncias, usaremos o procedimento de Welch (intervalo de diferença de médias com variâncias possivelmente diferentes).

Passo 2

Calcular as estatísticas amostrais essenciais: médias amostrais \bar{x}_1,\bar{x}_2 e variâncias amostrais s_1^2,s_2^2. Vou mostrar como se faz e os cálculos numéricos.
Definições (rápido “aula”):
  • A média amostral \bar{x} é \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • A variância amostral (estimador sem viés) é \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2. Uma forma prática de calcular é \displaystyle s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}, que usarei aqui (evita somar muitos desvios).
Cálculos para L1:
  • Soma das observações: \displaystyle \sum_{i=1}^{20} x_{1i}=249{,}9. Logo \bar{x}_1=\frac{249{,}9}{20}=12{,}495.
  • Soma dos quadrados: \displaystyle \sum_{i=1}^{20} x_{1i}^2=3130{,}19. Então s_1^2=\frac{3130{,}19-20\cdot(12{,}495)^2}{20-1} =\frac{3130{,}19-3122{,}5005}{19} =\frac{7{,}6895}{19}\approx0{,}40471.E s_1\approx\sqrt{0{,}40471}\approx0{,}6360.
Cálculos para L2:
  • Soma das observações: \displaystyle \sum_{i=1}^{25} x_{2i}=274{,}8. Logo \bar{x}_2=\frac{274{,}8}{25}=10{,}992.
  • Soma dos quadrados: \displaystyle \sum_{i=1}^{25} x_{2i}^2=3028{,}52. Então s_2^2=\frac{3028{,}52-25\cdot(10{,}992)^2}{25-1} =\frac{3028{,}52-3020{,}6016}{24} =\frac{7{,}9184}{24}\approx0{,}32993.E s_2\approx\sqrt{0{,}32993}\approx0{,}5744.
Diferença de médias amostrais:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=12{,}495-10{,}992=1{,}503.
(Respira! Até aqui calculamos médias e variâncias da forma standard — passo importante.)

Passo 3

Escrever a fórmula do intervalo de confiança de Welch e explicar cada termo.
Fórmula (aula curtinha): para duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes, um intervalo de confiança bilateral de nível 100(1-\alpha)\% para \mu_1-\mu_2 é
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{v,\,1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}.
Onde:
  • \bar{x}_1-\bar{x}_2 é a diferença entre as médias amostrais (ponto-estimador).
  • s_1^2 e s_2^2 são as variâncias amostrais.
  • n_1,n_2 são os tamanhos amostrais.
  • t_{v,\,1-\alpha/2} é o quantil 1-\alpha/2 da distribuição t com v graus de liberdade (critério de Student).
  • Os graus de liberdade v são aproximados pela fórmula de Welch–Satterthwaite: v=\frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}.
Essa fórmula leva em conta a incerteza das duas variâncias amostrais; não assume igualdade de variâncias.

Passo 4

Calcular o erro padrão combinado e os graus de liberdade numéricos.
Erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} =\sqrt{\frac{0{,}40471}{20}+\frac{0{,}32993}{25}}.
Calcule cada parcela:
\frac{0{,}40471}{20}=0{,}0202355,\qquad \frac{0{,}32993}{25}=0{,}0131972.
Soma =0{,}0334327. Portanto
\text{SE}=\sqrt{0{,}0334327}\approx0{,}18283.
Graus de liberdade (fórmula de Welch):
Calcular o numerador
\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2=(0{,}0334327)^2\approx0{,}0011170.
Calcular o denominador
\frac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\frac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)} =\frac{(0{,}40471)^2}{20^2\cdot19}+\frac{(0{,}32993)^2}{25^2\cdot24}.
Numéricos:
(0{,}40471)^2\approx0{,}163792,\quad 20^2\cdot19=7600\\ \Rightarrow\\ \frac{0{,}163792}{7600}\approx0{,}0000215568,
(0{,}32993)^2\approx0{,}108858,\quad 25^2\cdot24=15000\\ \Rightarrow\\ \frac{0{,}108858}{15000}\approx0{,}0000072572.
Somando dá aproximadamente 0{,}0000288140.
Portanto
v\approx\frac{0{,}0011170}{0{,}0000288140}\approx38{,}78.
Arredondamos os graus de liberdade para usar a tabela t; podemos usar v\approx39 (ou simplesmente usar o valor fracionário para obter o quantil numericamente). Para confiança de 95\% precisamos de t_{v,\,0{,}975}. Para v\approx39 o valor crítico é aproximadamente
t_{39,\,0{,}975}\approx2{,}023.

Passo 5

Calcular a margem de erro e o intervalo numérico.
Margem de erro:
\text{ME}=t_{v,\,0{,}975}\cdot\text{SE}\approx2{,}023\cdot0{,}18283\approx0{,}3699.
Intervalo de confiança de 95\%:
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm\text{ME} =1{,}503\pm0{,}3699.
Logo
\text{limite inferior}=1{,}503-0{,}3699\approx1{,}1331, \qquad \text{limite superior}=1{,}503+0{,}3699\approx1{,}8729.
Arredondando de forma usual (duas casas decimais) obtemos aproximadamente
(1{,}13,\;1{,}87).

Passo 6

Interpretação didática (o que significa esse intervalo?): \n
  • Um intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 igual a (1{,}13,\;1{,}87) significa: se repetíssemos experimentos semelhantes muitas vezes e construíssemos intervalos do mesmo tipo, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira diferença \mu_1-\mu_2. Aqui, com os dados que temos, o intervalo sugere que a média das medições do laboratório L1 é maior que a média do laboratório L2 em aproximadamente entre 1{,}13 e 1{,}87 unidades (com 95\% de confiança). \n
  • Observação prática importante: o intervalo inteiro está acima de 0. Isso indica evidência forte de que \mu_1>\mu_2 (isto é, as medições de L1 são, em média, maiores do que as de L2). \n
  • Lembre-se das condições necessárias para confiar nessa conclusão: (i) as amostras são independentes (foram tomadas independentemente), (ii) as populações são aproximadamente normais (ou as amostras grandes o suficiente — aqui n_1=20,n_2=25 são razoáveis), e (iii) usamos a versão de Welch porque as variâncias amostrais não foram assumidas iguais.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2}: (1{,}13,\;1{,}87)
(b) Interpretação: O intervalo indica que, com 95\% de confiança, a média das medidas do laboratório L1 é entre 1{,}13 e 1{,}87 unidades maior do que a média do laboratório L2; como o intervalo não contém 0, há evidência de que L1 produz medições maiores em média.

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