Questão 2 - Dois métodos de ensino (M1 e M2) são comparados quanto ao desempenho em um teste padronizado. Suponha que as notas dos estudantes seguem distribuições normais com variâncias conhecidas:
e
. Escolheu-se amostras independentes de
alunos submetidos ao M 1 e
alunos submetidos ao M2. As médias amostrais foram
e
.
Determine: a) Construa um intervalo de confiança unilateral (apenas limite inferior) de
para
(ou seja, encontre L tal que
). b) Suponha que mantemos as médias e variâncias, mas dobramos os tamanhos das amostras (
e
). Explique qualitativamente (sem cálculos) como isso afetaria o limite inferior do intervalo de confiança e por quê. c) Interprete o resultado do item (a): o que o limite inferior diz sobre a vantagem do método M1 em relação ao M2?
Passo 1
O enunciado dá os resultados de um experimento comparando dois métodos (M1 e M2) e pede três coisas. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
- Variâncias populacionais conhecidas:
e . - Tamanhos das amostras:
e . - Médias amostrais:
e .
O enunciado pede:
(a) Construir um intervalo de confiança unilateral (apenas limite inferior) de para
. Ou seja, encontrar
tal que
.
(b) Mantendo médias e variâncias, dobrar os tamanhos das amostras ( e
) e explicar qualitativamente como isso afetaria o limite inferior do intervalo de confiança.
(c) Interpretar o resultado do item (a): o que o limite inferior diz sobre a vantagem de M1 em relação a M2?
(a) Construir um intervalo de confiança unilateral (apenas limite inferior) de
(b) Mantendo médias e variâncias, dobrar os tamanhos das amostras (
(c) Interpretar o resultado do item (a): o que o limite inferior diz sobre a vantagem de M1 em relação a M2?
Passo 2
Modelo estatístico e ideia do procedimento (com explicação didática e sem pular etapas).
- Queremos construir um limite inferior para a diferença de médias
. - Como as variâncias populacionais são conhecidas e as amostras são independentes, a variável aleatória
tem distribuição aproximadamente normal padrão
. Explicando:
-
é a média amostral da amostra do método M1, numericamente . -
é a média amostral da amostra do método M2, numericamente . - O denominador é o erro padrão (desvio-padrão da distribuição amostral da diferença de médias), que chamarei de
. - Para construir um limite inferior com confiança
(aqui então ), usamos a desigualdade baseada na normal:
onde
é o quantil da normal padrão tal que
.
- Reescrevendo a desigualdade para
obtemos um limite inferior aleatório (função das amostras):
e garante-se que
Ou seja, com
de confiança afirmamos
.
Passo 3
Calcular o erro padrão
usando os dados fornecidos (mostrando cada conta).
A fórmula do erro padrão para a diferença de médias, com variâncias conhecidas e amostras independentes, é
Substituindo
,
,
e
:
Calculemos passo a passo:
Somando:
Tomando raiz quadrada:
(Arredondei a
para cinco casas decimais para manter precisão nas contas seguintes.)
Passo 4
Escolher o quantil
para a confiança unilateral de
.
- Para um limite inferior com nível de confiança
temos , logo . - O quantil da normal padrão que satisfaz
é . Consultando tabela da normal ou usando valor padrão:
Passo 5
Calcular o limite inferior
numericamente, passo a passo.
- Diferença observada das médias:
- Margem de menos (o termo subtraído):
- Portanto o limite inferior é
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (prática comum em provas), obtemos
Passo 6
Resposta qualitativa ao item (b): efeito de dobrar os tamanhos amostrais (sem cálculos).
- Se dobrarmos
e (mantendo as mesmas médias e variâncias populacionais), cada termo no somatório do erro padrão seria dividido por . Portanto a soma dentro da raiz seria dividida por , e a raiz quadrada (a ) seria multiplicada por (ou seja, diminuiria em um fator ). - O quantil
permanece o mesmo porque o nível de confiança não mudou. - Como a margem subtraída
diminui (pois fica menor), o limite inferior aumenta (fica maior). Em palavras: com amostras maiores o intervalo unilateral fica “mais favorável” a afirmar um menor erro — o limite inferior sobe, aproximando-se mais da diferença observada .
Passo 7
Interpretação do resultado do item (a) (item c), de forma clara e prática.
- O limite inferior
significa que, usando este procedimento de intervalo de confiança unilateral com nível , podemos afirmar que a diferença verdadeira é, com de confiança, pelo menos pontos. - Em termos práticos: os dados suportam a conclusão de que o método M1 tem vantagem média sobre M2 de pelo menos cerca de
pontos no teste padronizado, com de confiança. - Observação importante (interpretativa, não técnica): isso não prova que a vantagem é exatamente
— esse é um limite inferior; a diferença real pode ser maior. Também é baseado no pressuposto de normalidade e nas variâncias conhecidas fornecidas.
Resposta
(a)
(b) Ao dobrar
e
, o erro padrão
diminui (cerca de um fator
), logo a margem
diminui e o limite inferior
aumenta (fica maior), aproximando‑se mais da diferença observada.
(c) Com
de confiança,
: isto é, M1 tem vantagem média de pelo menos aproximadamente
pontos sobre M2.