Questão 2 - Dois métodos de ensino (M1 e M2) são comparados quanto ao desempenho em um teste padronizado. Suponha que as notas dos estudantes seguem distribuições normais com variâncias conhecidas: \sigma_{1}^{2}=16 e \sigma_{2}^{2}=25. Escolheu-se amostras independentes de n_{\_1}=30 alunos submetidos ao M 1 e n_{\_2}=45 alunos submetidos ao M2. As médias amostrais foram \bar{x}_{1}=78,5 e \bar{y}_{2}=75,0.
Determine: a) Construa um intervalo de confiança unilateral (apenas limite inferior) de 90 \% para \mu_{\_1}-\mu_{\_2} (ou seja, encontre L tal que \mathrm{P}\left(\mu_{\_1}-\mu_{\_2} \geq \mathrm{L}\right) \approx 0.90 ). b) Suponha que mantemos as médias e variâncias, mas dobramos os tamanhos das amostras ( n_{\_1} e n_{\_2} ). Explique qualitativamente (sem cálculos) como isso afetaria o limite inferior do intervalo de confiança e por quê. c) Interprete o resultado do item (a): o que o limite inferior diz sobre a vantagem do método M1 em relação ao M2?

Passo 1

O enunciado dá os resultados de um experimento comparando dois métodos (M1 e M2) e pede três coisas. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
  • Variâncias populacionais conhecidas: \sigma_{1}^{2}=16 e \sigma_{2}^{2}=25.
  • Tamanhos das amostras: n_{1}=30 e n_{2}=45.
  • Médias amostrais: \bar{x}_{1}=78,5 e \bar{y}_{2}=75,0.
O enunciado pede:
(a) Construir um intervalo de confiança unilateral (apenas limite inferior) de 90\% para \mu_{1}-\mu_{2}. Ou seja, encontrar L tal que \mathrm{P}\!\left(\mu_{1}-\mu_{2}\ge L\right)\approx 0{,}90.
(b) Mantendo médias e variâncias, dobrar os tamanhos das amostras ( n_{1} e n_{2}) e explicar qualitativamente como isso afetaria o limite inferior do intervalo de confiança.
(c) Interpretar o resultado do item (a): o que o limite inferior diz sobre a vantagem de M1 em relação a M2?

Passo 2

Modelo estatístico e ideia do procedimento (com explicação didática e sem pular etapas).
  • Queremos construir um limite inferior para a diferença de médias \delta=\mu_{1}-\mu_{2}.
  • Como as variâncias populacionais são conhecidas e as amostras são independentes, a variável aleatória
\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}
tem distribuição aproximadamente normal padrão N(0,1). Explicando:
  • \bar{X} é a média amostral da amostra do método M1, numericamente \bar{X}=\bar{x}_{1}=78,5.
  • \bar{Y} é a média amostral da amostra do método M2, numericamente \bar{Y}=\bar{y}_{2}=75,0.
  • O denominador é o erro padrão (desvio-padrão da distribuição amostral da diferença de médias), que chamarei de \mathrm{SE}.
  • Para construir um limite inferior com confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0{,}90 então \alpha=0{,}10), usamos a desigualdade baseada na normal:
\Pr\!\left( \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\mathrm{SE}} \le z_{1-\alpha}\right)=1-\alpha,
onde z_{1-\alpha} é o quantil da normal padrão tal que \Phi(z_{1-\alpha})=1-\alpha.
  • Reescrevendo a desigualdade para \mu_{1}-\mu_{2} obtemos um limite inferior aleatório (função das amostras):
L(\text{amostras}) = (\bar{X}-\bar{Y}) - z_{1-\alpha}\,\mathrm{SE},
e garante-se que
\Pr\!\left(\mu_{1}-\mu_{2} \ge L(\text{amostras})\right)=1-\alpha.
Ou seja, com 90\% de confiança afirmamos \mu_{1}-\mu_{2}\ge L.

Passo 3

Calcular o erro padrão \mathrm{SE} usando os dados fornecidos (mostrando cada conta).
A fórmula do erro padrão para a diferença de médias, com variâncias conhecidas e amostras independentes, é
\mathrm{SE}=\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}.
Substituindo \sigma_{1}^{2}=16, \sigma_{2}^{2}=25, n_{1}=30 e n_{2}=45:
\mathrm{SE}=\sqrt{\dfrac{16}{30}+\dfrac{25}{45}}.
Calculemos passo a passo:
\dfrac{16}{30}=0{,}533\overline{3},\qquad \dfrac{25}{45}=0{,}555\overline{5}.
Somando:
\dfrac{16}{30}+\dfrac{25}{45}=1{,}088\overline{8}.
Tomando raiz quadrada:
\mathrm{SE}=\sqrt{1{,}088\overline{8}}\approx 1{,}04349.
(Arredondei a \mathrm{SE} para cinco casas decimais para manter precisão nas contas seguintes.)

Passo 4

Escolher o quantil z_{1-\alpha} para a confiança unilateral de 90\%.
  • Para um limite inferior com nível de confiança 90\% temos 1-\alpha=0{,}90, logo \alpha=0{,}10.
  • O quantil da normal padrão que satisfaz \Phi(z_{1-\alpha})=0{,}90 é z_{0{,}90}. Consultando tabela da normal ou usando valor padrão:
z_{0{,}90}\approx 1{,}28155.

Passo 5

Calcular o limite inferior L numericamente, passo a passo.
  • Diferença observada das médias:
\bar{x}_{1}-\bar{y}_{2}=78{,}5-75{,}0=3{,}5.
  • Margem de menos (o termo subtraído):
z_{0{,}90}\cdot\mathrm{SE}\approx 1{,}28155\times 1{,}04349\approx 1{,}3367.
  • Portanto o limite inferior é
L = 3{,}5 - 1{,}3367 \approx 2{,}1633.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (prática comum em provas), obtemos
L \approx 2{,}16.

Passo 6

Resposta qualitativa ao item (b): efeito de dobrar os tamanhos amostrais (sem cálculos).
  • Se dobrarmos n_{1} e n_{2} (mantendo as mesmas médias e variâncias populacionais), cada termo \dfrac{\sigma_{i}^{2}}{n_{i}} no somatório do erro padrão seria dividido por 2. Portanto a soma dentro da raiz seria dividida por 2, e a raiz quadrada (a \mathrm{SE}) seria multiplicada por \dfrac{1}{\sqrt{2}} (ou seja, diminuiria em um fator \sqrt{2}\approx 1{,}414).
  • O quantil z_{0{,}90} permanece o mesmo porque o nível de confiança não mudou.
  • Como a margem subtraída z_{0{,}90}\,\mathrm{SE} diminui (pois \mathrm{SE} fica menor), o limite inferior L=(\bar{x}-\bar{y})-z_{0{,}90}\mathrm{SE} aumenta (fica maior). Em palavras: com amostras maiores o intervalo unilateral fica “mais favorável” a afirmar um menor erro — o limite inferior sobe, aproximando-se mais da diferença observada 3{,}5.

Passo 7

Interpretação do resultado do item (a) (item c), de forma clara e prática.
  • O limite inferior L\approx 2{,}16 significa que, usando este procedimento de intervalo de confiança unilateral com nível 90\%, podemos afirmar que a diferença verdadeira \mu_{1}-\mu_{2} é, com 90\% de confiança, pelo menos 2{,}16 pontos.
  • Em termos práticos: os dados suportam a conclusão de que o método M1 tem vantagem média sobre M2 de pelo menos cerca de 2{,}16 pontos no teste padronizado, com 90\% de confiança.
  • Observação importante (interpretativa, não técnica): isso não prova que a vantagem é exatamente 2{,}16 — esse é um limite inferior; a diferença real pode ser maior. Também é baseado no pressuposto de normalidade e nas variâncias conhecidas fornecidas.

Resposta

(a) L \approx 2{,}16
(b) Ao dobrar n_{1} e n_{2}, o erro padrão \mathrm{SE} diminui (cerca de um fator 1/\sqrt{2}), logo a margem z_{0{,}90}\mathrm{SE} diminui e o limite inferior L aumenta (fica maior), aproximando‑se mais da diferença observada.
(c) Com 90\% de confiança, \mu_{1}-\mu_{2}\ge 2{,}16: isto é, M1 tem vantagem média de pelo menos aproximadamente 2{,}16 pontos sobre M2.

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