Questão 2 - Durante a montagem de uma passarela metálica em uma obra, dois trabalhadores precisam levantar uma viga usando cabos presos em ângulos distintos. Um cabo exerce uma força horizontal de 6 N (para a direita), enquanto o outro aplica uma força de 5 N formando um ângulo de 60^{\circ} acima do horizontal, ambos atuando sobre o mesmo ponto da viga.
Como responsável técnico, você deve determinar a força total que está agindo sobre o ponto de sustentação. Para isso:
a) ( 2,0 pontos) Desenhe o esquema vetorial dos cabos e,
b) ( 3,0 pontos) Calcule o módulo da força resultante e o ângulo que ela faz com o horizontal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados:
    • Um cabo exerce uma força horizontal de \,6\\ \text{N}\, para a direita, aplicada num ponto da viga.
    • Outro cabo exerce uma força de \,5\\ \text{N}\, formando um ângulo de \,60^\circ\, acima do horizontal, aplicada no mesmo ponto.
  • Perguntas:
    • (a) Desenhar o esquema vetorial dos dois cabos (vetores aplicados no mesmo ponto).
    • (b) Calcular o módulo da força resultante e o ângulo que essa força resultante faz com a horizontal.

Passo 2

Desenho (esquema vetorial) — como você deve riscar no caderno para responder (a):
  • Trace um eixo horizontal para a direita (eixo x) e um eixo vertical para cima (eixo y), com origem no ponto onde as forças atuam.
  • Desenhe um vetor horizontal para a direita, com etiqueta \,6\\ \text{N}\,.
  • Do mesmo ponto, desenhe outro vetor fazendo \,60^\circ\, acima da horizontal, com etiqueta \,5\\ \text{N}\,.
  • Para facilitar, desenhe as componentes do vetor de \,5\\ \text{N}: uma projeção horizontal para a direita e uma vertical para cima, formando um triângulo retângulo com o vetor de \,5\\ \text{N}.
  • Marque claramente as setas, as magnitudes e o ângulo \,60^\circ.
Esse esboço mostra visualmente que temos duas componentes horizontais que se somam (a de \,6\\ \text{N}\, e a projeção horizontal da de \,5\\ \text{N}) e uma componente vertical para cima vinda apenas da de \,5\\ \text{N}.

Passo 3

Escolha do método e ideia principal — decomposição em componentes:
  • Para somar forças que formam ângulos diferentes, o jeito mais direto é decompor cada força em componentes horizontal ( x) e vertical ( y), somar componente a componente e depois recompor a resultante.
  • Regra básica que vamos usar: para uma força de magnitude \,F\, fazendo ângulo \,\alpha\, acima da horizontal, F_x = F\cos\alpha,\qquad F_y = F\sin\alpha.Aqui F_x é a componente horizontal (positiva para a direita), F_y é a componente vertical (positiva para cima). A função \cos dá a razão da projeção horizontal no triângulo retângulo; \sin dá a razão da projeção vertical.

Passo 4

Aplicando a decomposição às forças do enunciado:
  • A força horizontal \,6\\ \text{N}\, já está inteiramente no eixo x, então suas componentes são (F_{1x},F_{1y}) = \left(6,\\\ 0\right).
  • A força de \,5\\ \text{N}\, com \,60^\circ\, tem componentes F_{2x} = 5\cos 60^\circ,\qquad F_{2y} = 5\sin 60^\circ.Sabendo que \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, calculamos F_{2x} = 5\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2},\qquad F_{2y} = 5\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Somando componentes para obter a resultante:
  • Soma das componentes horizontais: R_x = F_{1x} + F_{2x} = 6 + \tfrac{5}{2} = \tfrac{12}{2} + \tfrac{5}{2} = \tfrac{17}{2}.Em valor decimal, \tfrac{17}{2}=8{,}5.
  • Soma das componentes verticais: R_y = F_{1y} + F_{2y} = 0 + \tfrac{5\sqrt{3}}{2} = \tfrac{5\sqrt{3}}{2}.Em valor decimal, \tfrac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}3301.

Passo 6

Cálculo do módulo da resultante:
  • A magnitude da resultante é dada por R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}.Substituindo os valores exatos: R = \sqrt{\left(\tfrac{17}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2}.Calculemos cada termo: \left(\tfrac{17}{2}\right)^2 = \tfrac{289}{4},\qquad \left(\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \tfrac{25\cdot 3}{4} = \tfrac{75}{4}.Somando: R = \sqrt{\tfrac{289}{4} + \tfrac{75}{4}} = \sqrt{\tfrac{364}{4}} = \sqrt{91}.Portanto o módulo exato é \,\sqrt{91}\\ \text{N}\,. Em valor numérico, \sqrt{91}\approx 9{,}539\\ \text{N},que podemos arredondar para \,9{,}54\\ \text{N}\, se for desejável.

Passo 7

Cálculo do ângulo que a resultante faz com a horizontal:
  • O ângulo \theta acima da horizontal é dado por \theta = \arctan\!\left(\dfrac{R_y}{R_x}\right).Usando as expressões exatas: \theta = \arctan\!\left(\dfrac{\tfrac{5\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{17}{2}}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{17}\right).
  • Em valor numérico, \dfrac{5\sqrt{3}}{17}\approx 0{,}509427,e então \theta \approx 27{,}0^\circ.(Use \arctan em graus na calculadora; arredondamos aqui para uma casa decimal.)

Resposta

\displaystyle R=\sqrt{91}\\ \text{N}\approx 9{,}54\\ \text{N}
\displaystyle \theta=\arctan\!\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{17}\right)\approx 27{,}0^\circ

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