Seja
a) Usando a fórmula de quadratura de Gauss com 2 e 3 pontos, calcular o valor aproximado de
;
b) Usando a fórmula
de Simpson generalizada com 3 e 5 pontos calcular o valor aproximado de
;
c) compare os resultados obtidos em
) e
). Comente.
a) Usando a fórmula de quadratura de Gauss com 2 e 3 pontos, calcular o valor aproximado de
b) Usando a fórmula
c) compare os resultados obtidos em
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o integral
por três métodos distintos e comparar os resultados:
a) usar a fórmula de quadratura de Gauss com 2 pontos e com 3 pontos;
b) usar a regra de Simpson (generalizada / composta) com 3 pontos (uma aplicação) e com 5 pontos (composta);
c) comparar os resultados obtidos em (a) e (b) e comentar.
a) usar a fórmula de quadratura de Gauss com 2 pontos e com 3 pontos;
b) usar a regra de Simpson
c) comparar os resultados obtidos em (a) e (b) e comentar.
Informações dadas e condições relevantes:
- O integrando é
no intervalo . - Para a quadratura de Gauss usaremos a transformação do intervalo padrão
para : se e , então
- Para a quadratura de Gauss precisamos dos nós
e pesos em (valores padrão que vou usar: para 2 e 3 pontos). - Para Simpson usaremos as fórmulas padrão: para uma aplicação (3 pontos) e para a aplicação composta (5 pontos = 4 subintervalos).
A resolução numérica efetiva começa no próximo passo.
Passo 2
Breve aula sobre a quadratura de Gauss (intuitiva e prática):
- A quadratura de Gauss-Legendre aproxima
por , escolhendo nós e pesos de forma a fazer a fórmula exata para polinômios de grau até . - Para
os nós em são e os pesos são . - Para
os nós são e os pesos são , . - Como nosso intervalo é
, usamos a transformação e a propriedade
Vamos aplicar isso com
. Uma identidade útil para cálculos é
porque muitas avaliações ficam em termos de
.
Passo 3
Gauss com
(dois pontos):
- Nós em
: , . Numericamente . - Mapeamento para
: . Assim
- Valores de
usando :
- Como os pesos em
são , a fórmula em dá
Passo 4
Gauss com
(três pontos):
- Nós em
: , com . - Mapear para
:
- Pesos em
: . - Avaliações (usando
):
- Somando com os pesos e lembrando do fator
da transformação:
Substituindo os números:
Passo 5
Pequena aula sobre a regra de Simpson
(fórmula e composta):
- A regra de Simpson em um único segmento
com nós (ou seja, 3 pontos uniformes, ) é
- A versão composta para
subintervalos (com par) e passo é
- Simpson é exato para polinômios até grau 3; para funções suaves a precisão melhora ao diminuir
.
Passo 6
Simpson com 3 pontos (aplicação única em
):
- Aqui
. Nós: , , . - Avaliações:
- Aplicando Simpson:
Cálculo:
Passo 7
Simpson com 5 pontos (regra composta com 4 subintervalos,
):
- Nós:
. Aqui . - Usando
para facilitar:
- Fórmula composta:
Substituindo:
Cálculo:
Passo 8
Cálculo do valor exato (para comparar os erros) — pequena teoria e aplicação:
- Usando
e integrando,
- Valor numérico (usando
):
Passo 9
Comparação numérica e comentários (erros absolutos):
- Valores obtidos:
- Gauss 2 pontos:
. Erro absoluto . - Gauss 3 pontos:
. Erro absoluto . - Simpson 3 pontos (uma aplicação):
. Erro absoluto . - Simpson 5 pontos (composta):
. Erro absoluto .
- Gauss 2 pontos:
- Comentários interpretativos (didático):
- A quadratura de Gauss com 3 nós foi a mais precisa aqui (erro ~
), porque a fórmula de Gauss maximiza a exatidão para um dado número de nós: com nós é exata para polinômios até grau e costuma ser muito eficiente para funções suaves. - Gauss com 2 nós e Simpson com 3 pontos têm desempenhos semelhantes em ordem de grandeza, mas Gauss-2 foi um pouco melhor que Simpson-3 neste caso (erros
vs ). - A regra de Simpson composta com 5 pontos (passo menor) já reduz muito o erro e fica comparável a Gauss-3 em precisão (aqui Simpson-5 tem erro
, um pouco maior que Gauss-3), mostrando que refinando o passo a regra de Simpson converge bem. - Em provas, se você puder escolher nós ótimos (Gauss) e tiver tabelas dos nós/pesos, Gauss costuma ser melhor por nó utilizado; se usar métodos compostos com nós igualmente espaçados (como Simpson), precisa de mais pontos para alcançar a mesma precisão.
- A quadratura de Gauss com 3 nós foi a mais precisa aqui (erro ~
Resposta
a)
,
b) ,
c) Gauss de 3 pontos é o mais preciso (erro ). Gauss-2 e Simpson-3 têm erros da ordem
. Simpson composta com 5 pontos melhora muito (erro
) e fica próxima de Gauss-3, mostrando que Gauss é “mais eficiente por nó” enquanto Simpson melhora com refinamento.
b)
c) Gauss de 3 pontos é o mais preciso (erro