Seja I=\int_{0}^{1} \cos ^{2}(x) d x
a) Usando a fórmula de quadratura de Gauss com 2 e 3 pontos, calcular o valor aproximado de I;
b) Usando a fórmula 1 / 3 de Simpson generalizada com 3 e 5 pontos calcular o valor aproximado de I;
c) compare os resultados obtidos em a ) e b ). Comente.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o integral
I=\int_{0}^{1}\cos^{2}(x)\,dx
por três métodos distintos e comparar os resultados:
a) usar a fórmula de quadratura de Gauss com 2 pontos e com 3 pontos;
b) usar a regra de Simpson 1/3 (generalizada / composta) com 3 pontos (uma aplicação) e com 5 pontos (composta);
c) comparar os resultados obtidos em (a) e (b) e comentar.
Informações dadas e condições relevantes:
  • O integrando é f(x)=\cos^{2}(x) no intervalo [0,1].
  • Para a quadratura de Gauss usaremos a transformação do intervalo padrão [-1,1] para [0,1]: se t\in[-1,1] e x=\frac{1+t}{2}, então
\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} f\!\Big(\frac{1+t}{2}\Big)\,dt.
  • Para a quadratura de Gauss precisamos dos nós t_i e pesos w_i em [-1,1] (valores padrão que vou usar: para 2 e 3 pontos).
  • Para Simpson usaremos as fórmulas padrão: para uma aplicação (3 pontos) e para a aplicação composta (5 pontos = 4 subintervalos).
A resolução numérica efetiva começa no próximo passo.

Passo 2

Breve aula sobre a quadratura de Gauss (intuitiva e prática):
  • A quadratura de Gauss-Legendre aproxima \int_{-1}^{1}g(t)\,dt por \sum_{i=1}^{n} w_i g(t_i), escolhendo nós t_i e pesos w_i de forma a fazer a fórmula exata para polinômios de grau até 2n-1.
  • Para n=2 os nós em [-1,1] são t=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} e os pesos são w_1=w_2=1.
  • Para n=3 os nós são t=0,\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}} e os pesos são w_0=\tfrac{8}{9}, w_{\pm}=\tfrac{5}{9}.
  • Como nosso intervalo é [0,1], usamos a transformação x=\tfrac{1+t}{2} e a propriedade
\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\Big(\frac{1+t_i}{2}\Big).
Vamos aplicar isso com f(x)=\cos^2(x). Uma identidade útil para cálculos é
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2},
porque muitas avaliações ficam em termos de \cos(2x).

Passo 3

Gauss com n=2 (dois pontos):
  • Nós em [-1,1]: t_1=+\tfrac{1}{\sqrt{3}}, t_2=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Numericamente \tfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}5773502692.
  • Mapeamento para [0,1]: x_i=\tfrac{1+t_i}{2}. Assim
x_1=\frac{1+0{,}5773502692}{2}=0{,}7886751346, \qquad x_2=\frac{1-0{,}5773502692}{2}=0{,}2113248654.
  • Valores de f usando \cos^{2}(x)=\tfrac{1+\cos(2x)}{2}:
2x_1=1{,}5773502692,\qquad \cos(2x_1)\approx -0{,}0065538955,
f(x_1)=\frac{1+\cos(2x_1)}{2}\approx\frac{1-0{,}0065538955}{2}=0{,}4967230523.
2x_2=0{,}4226497308,\qquad \cos(2x_2)\approx 0{,}9120049315,
f(x_2)=\frac{1+\cos(2x_2)}{2}\approx\frac{1+0{,}9120049315}{2}=0{,}9560024658.
  • Como os pesos em [-1,1] são w_1=w_2=1, a fórmula em [0,1]
I_{G2}=\frac{1}{2}\big(f(x_1)+f(x_2)\big) =\frac{1}{2}\big(0{,}4967230523+0{,}9560024658\big) \approx 0{,}7263627590.

Passo 4

Gauss com n=3 (três pontos):
  • Nós em [-1,1]: t_0=0, t_{\pm}=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}} com \sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0{,}7745966692.
  • Mapear para [0,1]:
x_0=\frac{1+0}{2}=0{,}5, \qquad x_{+}=\frac{1+0{,}7745966692}{2}=0{,}8872983346, \qquad x_{-}=\frac{1-0{,}7745966692}{2}=0{,}1127016654.
  • Pesos em [-1,1]: w_0=\tfrac{8}{9},\; w_{\pm}=\tfrac{5}{9}.
  • Avaliações (usando \cos^{2}(x)=\tfrac{1+\cos(2x)}{2}):
f(x_0)=f(0{,}5)=\frac{1+\cos(1)}{2}\approx\frac{1+0{,}5403023059}{2}=0{,}7701511530.
2x_{+}=1{,}7745966692,\quad \cos(2x_{+})\approx -0{,}20239198,\quad f(x_{+})\approx\frac{1-0{,}20239198}{2}=0{,}39880401.
2x_{-}=0{,}2254033308,\quad \cos(2x_{-})\approx 0{,}9747038,\quad f(x_{-})\approx\frac{1+0{,}9747038}{2}=0{,}9873519.
  • Somando com os pesos e lembrando do fator \tfrac{1}{2} da transformação:
I_{G3}=\frac{1}{2}\Big(\tfrac{8}{9}f(x_0)+\tfrac{5}{9}f(x_{+})+\tfrac{5}{9}f(x_{-})\Big).
Substituindo os números:
I_{G3}\approx\frac{1}{2}\Big(\frac{8}{9}\cdot0{,}7701511530+\frac{5}{9}\cdot0{,}39880401+\frac{5}{9}\cdot0{,}9873519\Big) \approx 0{,}7273327095.

Passo 5

Pequena aula sobre a regra de Simpson 1/3 (fórmula e composta):
  • A regra de Simpson em um único segmento [a,b] com nós a,a+h,b (ou seja, 3 pontos uniformes, h=(b-a)/2) é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f(a)+4f(a+h)+f(b)\big).
  • A versão composta para n subintervalos (com n par) e passo h=(b-a)/n é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{\text{índice ímpar}} f(x_i)+2\sum_{\text{índice par, interior}} f(x_i)+f(x_n)\Big).ííí
  • Simpson é exato para polinômios até grau 3; para funções suaves a precisão melhora ao diminuir h.

Passo 6

Simpson com 3 pontos (aplicação única em [0,1]):
  • Aqui h=(1-0)/2=0{,}5. Nós: x_0=0, x_1=0{,}5, x_2=1.
  • Avaliações:
f(0)=\cos^{2}(0)=1, \qquad f(0{,}5)=0{,}7701511530\\ \text{(já calculado)}, \qquad f(1)=\frac{1+\cos(2)}{2}\approx\frac{1-0{,}4161468365}{2}=0{,}2919265818.á
  • Aplicando Simpson:
I_{S3}=\frac{h}{3}\big(f(0)+4f(0{,}5)+f(1)\big)=\frac{0{,}5}{3}\big(1+4\cdot0{,}7701511530+0{,}2919265818\big).
Cálculo:
I_{S3}\approx\frac{0{,}5}{3}\cdot 4{,}372531194 =\frac{1}{6}\cdot 4{,}372531194 \approx 0{,}7287551990.

Passo 7

Simpson com 5 pontos (regra composta com 4 subintervalos, h=0{,}25):
  • Nós: x_0=0,\; x_1=0{,}25,\; x_2=0{,}5,\; x_3=0{,}75,\; x_4=1. Aqui h=(1-0)/4=0{,}25.
  • Usando \cos^{2}(x)=\tfrac{1+\cos(2x)}{2} para facilitar:
f(0)=1,
f(0{,}25)=\frac{1+\cos(0{,}5)}{2}\approx\frac{1+0{,}8775825620}{2}=0{,}9387912810,
f(0{,}5)=0{,}7701511530,
f(0{,}75)=\frac{1+\cos(1{,}5)}{2}\approx\frac{1+0{,}0707372017}{2}=0{,}5353686009,
f(1)=0{,}2919265818.
  • Fórmula composta:
I_{S5}=\frac{h}{3}\big(f_0+4(f_1+f_3)+2f_2+f_4\big).
Substituindo:
I_{S5}=\frac{0{,}25}{3}\big(1+4(0{,}9387912810+0{,}5353686009)+2\cdot0{,}7701511530+0{,}2919265818\big).
Cálculo:
\text{parêntese}\approx 8{,}728868416,\qquad \frac{0{,}25}{3}=0{,}0833333333,ê
I_{S5}\approx 0{,}0833333333\cdot 8{,}728868416 \approx 0{,}7274057013.

Passo 8

Cálculo do valor exato (para comparar os erros) — pequena teoria e aplicação:
  • Usando \cos^{2}(x)=\tfrac{1+\cos(2x)}{2} e integrando,
I=\int_{0}^{1}\cos^{2}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx =\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}+\frac{\sin(2)}{4}.
  • Valor numérico (usando \sin(2)\approx 0{,}9092974268):
I=\frac{1}{2}+\frac{\sin(2)}{4}\approx 0{,}7273243567.

Passo 9

Comparação numérica e comentários (erros absolutos):
  • Valores obtidos:
    • Gauss 2 pontos: I_{G2}\approx 0{,}7263627590. Erro absoluto |I_{G2}-I|\approx 9{,}61598\times 10^{-4}.
    • Gauss 3 pontos: I_{G3}\approx 0{,}7273327095. Erro absoluto |I_{G3}-I|\approx 8{,}35\times 10^{-6}.
    • Simpson 3 pontos (uma aplicação): I_{S3}\approx 0{,}7287551990. Erro absoluto |I_{S3}-I|\approx 1{,}43084\times 10^{-3}.
    • Simpson 5 pontos (composta): I_{S5}\approx 0{,}7274057013. Erro absoluto |I_{S5}-I|\approx 8{,}14\times 10^{-5}.
  • Comentários interpretativos (didático):
    • A quadratura de Gauss com 3 nós foi a mais precisa aqui (erro ~ 10^{-5}), porque a fórmula de Gauss maximiza a exatidão para um dado número de nós: com n nós é exata para polinômios até grau 2n-1 e costuma ser muito eficiente para funções suaves.
    • Gauss com 2 nós e Simpson com 3 pontos têm desempenhos semelhantes em ordem de grandeza, mas Gauss-2 foi um pouco melhor que Simpson-3 neste caso (erros 9{,}6\times10^{-4} vs 1{,}43\times10^{-3}).
    • A regra de Simpson composta com 5 pontos (passo menor) já reduz muito o erro e fica comparável a Gauss-3 em precisão (aqui Simpson-5 tem erro \sim 8{,}1\times 10^{-5}, um pouco maior que Gauss-3), mostrando que refinando o passo a regra de Simpson converge bem.
    • Em provas, se você puder escolher nós ótimos (Gauss) e tiver tabelas dos nós/pesos, Gauss costuma ser melhor por nó utilizado; se usar métodos compostos com nós igualmente espaçados (como Simpson), precisa de mais pontos para alcançar a mesma precisão.

Resposta

a) I_{G2}\approx 0{,}7263627590, I_{G3}\approx 0{,}7273327095
b) I_{S3}\approx 0{,}7287551990, I_{S5}\approx 0{,}7274057013
c) Gauss de 3 pontos é o mais preciso (erro \approx 8{,}3\times10^{-6}). Gauss-2 e Simpson-3 têm erros da ordem 10^{-3}. Simpson composta com 5 pontos melhora muito (erro \approx 8{,}1\times10^{-5}) e fica próxima de Gauss-3, mostrando que Gauss é “mais eficiente por nó” enquanto Simpson melhora com refinamento.

Exercícios relacionados