Questão [edp3] ( 1,0 p t ) Ache a forma normal de u_{x y}-u_{y y}=0 e resolva:
Du =f_{1}(x)+ f_{2}(x+y)
\square u=x f_{1}(x- y)+f_{2}(x+y)
\square u=x f_{1}(2 x+ y)+f_{2}(2 x+y)
\square u=\frac{1}{y} f_{1}(x y)+ f_{2}(y)
\square u=\frac{1}{x} f_{1}(y)+ \frac{1}{y} f_{2}(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
u_{x y}-u_{y y}=0
e pede: achar a forma normal (isto é, uma mudança de variáveis que torne a equação mais simples) e resolver a equação — ou seja, encontrar a forma geral de u(x,y). As informações relevantes são apenas essa equação; não há condições iniciais ou de contorno adicionais.

Passo 2

Vamos procurar uma mudança de variáveis que simplifique a equação. Uma boa ideia é olhar para combinações lineares óbvias das variáveis que apareçam nas derivadas mistas. Experimente as variáveis
r=x,\qquad s=x+y.
Expliquei a escolha: s=x+y corresponde às retas x+y= constante, que costumam ser características naturais quando aparecem combinações x\pm y nas derivadas.
Agora usamos a regra da cadeia para escrever as derivadas de u em termos de u_r e u_s. Como u(x,y)=u(r,s) com r=x e s=x+y,
u_x = u_r\frac{\partial r}{\partial x}+u_s\frac{\partial s}{\partial x}=u_r+u_s,
u_y = u_r\frac{\partial r}{\partial y}+u_s\frac{\partial s}{\partial y}=0+u_s = u_s.
Uma observação prática e muito útil: a combinação u_x-u_y fica simplesmente
u_x-u_y=(u_r+u_s)-u_s = u_r.
Agora calcule a expressão da equação original em termos de r,s. Note que
u_{x y}-u_{y y}=\frac{\partial}{\partial y}(u_x-u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(u_r).
Como r não depende de y (pois r=x), e s depende de y com \partial s/\partial y=1, temos
\frac{\partial}{\partial y}(u_r)=u_{r s}.
Portanto a equação original transforma-se na forma normal
u_{r s}=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação normal u_{r s}=0. Essa equação diz que a derivada parcial de u_r em relação a s é zero, isto é, u_r depende apenas de r. Formalmente:
u_{r s}=0 \quad\Rightarrow\quad u_r(r,s)=A(r),
onde A(r) é uma função arbitrária de r. Integrando em r,
u(r,s)=\int A(r)\,dr + B(s),
onde B(s) é outra função arbitrária (constante de integração no sentido de dependência de s). Escrevendo com nomes mais usuais, seja F(r)=\int A(r)\,dr e G(s)=B(s). Voltando às variáveis originais r=x e s=x+y, obtemos a solução geral
u(x,y)=F(x)+G(x+y),
onde F e G são funções arbitrárias (de uma variável).
Aqui uma pequena explicação didática: as duas funções arbitrárias surgem porque integramos uma equação parcial — primeiro obtemos u_r dependendo só de r (uma função arbitrária), e ao integrar aparecem funções de s como “constantes” de integração. Esse é o motivo de aparecerem duas famílias de funções arbitrárias na solução.

Passo 4

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calculemos as derivadas para a solução u(x,y)=F(x)+G(x+y).
u_x = F'(x)+G'(x+y),\qquad u_y = G'(x+y).
Então
u_{x y} = \frac{\partial}{\partial y}u_x = G''(x+y),\qquad u_{y y} = \frac{\partial}{\partial y}u_y = G''(x+y).
Logo
u_{x y}-u_{y y}=G''(x+y)-G''(x+y)=0,
o que confirma que a forma geral obtida satisfaz a equação.

Resposta

u(x,y)=F(x)+G(x+y)

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