Questão [edp3] (
) Ache a forma normal de
e resolva:
Du
Du
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e pede: achar a forma normal (isto é, uma mudança de variáveis que torne a equação mais simples) e resolver a equação — ou seja, encontrar a forma geral de
. As informações relevantes são apenas essa equação; não há condições iniciais ou de contorno adicionais.
Passo 2
Vamos procurar uma mudança de variáveis que simplifique a equação. Uma boa ideia é olhar para combinações lineares óbvias das variáveis que apareçam nas derivadas mistas. Experimente as variáveis
Expliquei a escolha:
corresponde às retas
constante, que costumam ser características naturais quando aparecem combinações
nas derivadas.
Agora usamos a regra da cadeia para escrever as derivadas de
em termos de
e
. Como
com
e
,
Uma observação prática e muito útil: a combinação
fica simplesmente
Agora calcule a expressão da equação original em termos de
. Note que
Como
não depende de
(pois
), e
depende de
com
, temos
Portanto a equação original transforma-se na forma normal
Passo 3
Agora resolvemos a equação normal
. Essa equação diz que a derivada parcial de
em relação a
é zero, isto é,
depende apenas de
. Formalmente:
onde
é uma função arbitrária de
. Integrando em
,
onde
é outra função arbitrária (constante de integração no sentido de dependência de
). Escrevendo com nomes mais usuais, seja
e
. Voltando às variáveis originais
e
, obtemos a solução geral
onde
e
são funções arbitrárias (de uma variável).
Aqui uma pequena explicação didática: as duas funções arbitrárias surgem porque integramos uma equação parcial — primeiro obtemos
dependendo só de
(uma função arbitrária), e ao integrar aparecem funções de
como “constantes” de integração. Esse é o motivo de aparecerem duas famílias de funções arbitrárias na solução.
Passo 4
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calculemos as derivadas para a solução
.
Então
Logo
o que confirma que a forma geral obtida satisfaz a equação.