Questão [open2] (3,0 pts) Considere a equação do calor
em uma barra infinita, lateralmente isolada com temperatura inicial dada por
a) Use
e mostre que
b) Faça
representar a transformada de Fourier de
como função de
. Resolva a equação ordinária em
.
c) Determine
na forma integral sabendo que
usando a transformada de Fourier.
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2,0
2,25
2,5
2,75
a) Use
c) Determine
Passo 1
O enunciado dá a equação
valendo para
, com condição inicial
Pede-se:
- (a) aplicar a separação de variáveis usando
e mostrar que as equações separadas são
- (b) tomar a transformada de Fourier em
de , resolver a equação ordinária resultante em . - (c) com
, determinar na forma integral usando a transformada de Fourier.
Informações relevantes dadas: a PDE, a condição inicial gerale o caso específico . Nada mais é pedido além das etapas acima.
Passo 2
Começo a parte (a) propondo a ansatz de separação
onde
depende só de
e
só de
. Substituo na PDE:
Portanto a PDE vira
Agora divido ambos os lados por
(assumindo
e
não identicamente zero) para separar as variáveis:
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, logo ambos devem ser iguais a uma constante independente de
e
. Chamo essa constante de
(escolha do sinal explicada no próximo passo). Assim
Passo 3
Multiplicando cada uma das igualdades por
ou por
obtenho as equações ordinárias pedidas:
Breve comentário didático sobre a escolha do sinal: optei por escrever a constante como
porque para muitos problemas físicos (barra infinita) queremos soluções
de segunda ordem de tipo oscilatório (seno/cosseno) e
decaindo com o tempo (exponencial decrescente). Se tivéssemos escolhido constante positiva, as formas das soluções mudariam (exponenciais crescentes/decrescentes em
), o que não é o comportamento típico desejado para modos físicos nesta barra infinita. Assim
e
pode ser tomado não negativo.
As soluções gerais dessas ODEs são
As soluções gerais dessas ODEs são
com constantes
determinadas por condições (no nosso caso, como a barra é infinita, geralmente combinamos esses modos via superposição/integral).
Passo 4
Parte (b): agora uso a transformada de Fourier em
. Defino a transformada direta e inversa (convenção usada aqui):
Propriedade útil (explicada): a transformada de Fourier transforma derivação em multiplicação por
. Ou seja, para derivada em
,
Aplicando a transformada em
à PDE original, o termo temporal passa para fora da integral (pois transformo apenas em
), dando
Logo obtemos a equação ordinária em
(para cada
):
Passo 5
Resolvo a ODE em
para cada
. É uma ODE linear de primeira ordem com solução exponencial. A condição inicial em transformada é
A solução da ODE é
Explicação didática: a ODE
tem solução
; aqui
.
Passo 6
Volto ao espaço físico usando a transformada inversa. Substituindo
na inversa dá a fórmula integral geral
Outra forma útil (interpretação de convolução): note que
é a transformada inversa de
, que é o núcleo de calor gaussiano. O cálculo padrão do integral gaussiano (com completar quadrado) dá
Portanto a solução também se escreve como convolução
Comentário prático: essa é a forma usada com frequência na prova — transformar, multiplicar por
e inverter.
Passo 7
Parte (c): agora trato o caso específico
. Primeiro obtenho
. Uso o par conhecido entre a função retangular e a sinc: a transformada inversa da função indicadora do intervalo
é
Invertendo esse par, deduzimos que
onde
é a função que vale
para
e
caso contrário. Aplicando com
(pois
) obtemos
Isso pode ser verificado diretamente integrando
ou usando o par retângulo ↔ sinc mostrado acima.
Passo 8
Com
Invertendo a transformada obtemos a expressão integral final:
Como integrando é par no caso da parte real, uma forma real equivalente é
Verificação rápida do limite
, temos
, recuperando a condição inicial, o que é um bom cheque.]
Resposta
(a)
(b)
(c)