converge ou diverge; e, caso converge, determinar a soma.
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
O termo geral da série é \left(-\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}.
O índice de soma começa em n=1.
Passo 2
Observação sobre a forma da série (sem resolver ainda): os termos têm a forma \left(r\right)^{n-1}, com r=-\dfrac{3}{4}. Isso é exatamente a forma de uma série geométrica padrão. Vou explicar o que é uma série geométrica e a fórmula que usamos.
Definição (explicada devagar): uma série geométrica é uma série cujos termos seguem uma razão constante r, isto é, os termos têm a forma a_1,\; a_1 r,\; a_1 r^2,\; \dots. Aqui o primeiro termo é a_1=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{0}=1 e a razão é r=-\dfrac{3}{4}. Em provas a gente costuma usar a fórmula do somatório parcial para esse tipo de série — vou deduzi‑la agora passo a passo.
Passo 3
Derivação da soma parcial de uma série geométrica (a aula prática): seja
Aqui S_N significa "soma até N", r é a razão da progressão geométrica e r^{N} é o termo que sobra após a subtração.
Passo 4
Condição de convergência (por que isso funciona): a série infinita \sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1} converge se, ao fazermos N\to\infty, o termo r^{N} tender a zero. Ou seja,
existe se e só se \lim_{N\to\infty} r^{N}=0. Sabemos de análise elementar que \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 exatamente quando |r|<1. Se |r|\ge 1, então r^{N} não tende a zero e a série diverge.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: aqui r=-\dfrac{3}{4}. Calculemos o valor absoluto:
|r|=\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}.
Como \dfrac{3}{4}<1, temos |r|<1. Logo \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 e a série converge.
Passo 6
Cálculo da soma (fazendo as substituições na fórmula): como a série converge, a soma é
As somas parciais oscilam e vão se aproximando de aproximadamente 0{,}5714, que é exatamente \dfrac{4}{7}. Isso confirma que nosso resultado faz sentido numericamente.