Ver se a série converge ou diverge; se convergir, determinar a soma
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}
converge ou diverge; e, caso converge, determinar a soma.
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
  • O termo geral da série é \left(-\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}.
  • O índice de soma começa em n=1.

Passo 2

Observação sobre a forma da série (sem resolver ainda): os termos têm a forma \left(r\right)^{n-1}, com r=-\dfrac{3}{4}. Isso é exatamente a forma de uma série geométrica padrão. Vou explicar o que é uma série geométrica e a fórmula que usamos.
Definição (explicada devagar): uma série geométrica é uma série cujos termos seguem uma razão constante r, isto é, os termos têm a forma a_1,\; a_1 r,\; a_1 r^2,\; \dots. Aqui o primeiro termo é a_1=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{0}=1 e a razão é r=-\dfrac{3}{4}. Em provas a gente costuma usar a fórmula do somatório parcial para esse tipo de série — vou deduzi‑la agora passo a passo.

Passo 3

Derivação da soma parcial de uma série geométrica (a aula prática): seja
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{\,n-1}=1+r+r^2+\cdots+r^{N-1},
onde r é a razão e S_N é a soma dos primeiros N termos. Multiplicamos por r:
rS_N=r+r^2+\cdots+r^{N}.
Agora subtraímos as duas expressões (isso elimina a maior parte dos termos):
S_N - rS_N = (1+r+\cdots+r^{N-1}) - (r+r^2+\cdots+r^{N}) = 1 - r^{N}.
Fatorando o lado esquerdo obtemos
S_N(1-r)=1-r^{N}.
Portanto, a fórmula da soma parcial é
S_N=\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Aqui S_N significa "soma até N", r é a razão da progressão geométrica e r^{N} é o termo que sobra após a subtração.

Passo 4

Condição de convergência (por que isso funciona): a série infinita \sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1} converge se, ao fazermos N\to\infty, o termo r^{N} tender a zero. Ou seja,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1} = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\frac{1-r^{N}}{1-r}
existe se e só se \lim_{N\to\infty} r^{N}=0. Sabemos de análise elementar que \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 exatamente quando |r|<1. Se |r|\ge 1, então r^{N} não tende a zero e a série diverge.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: aqui r=-\dfrac{3}{4}. Calculemos o valor absoluto:
|r|=\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}.
Como \dfrac{3}{4}<1, temos |r|<1. Logo \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 e a série converge.

Passo 6

Cálculo da soma (fazendo as substituições na fórmula): como a série converge, a soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{\,n-1}=\frac{1}{1-r}.
Substituindo r=-\dfrac{3}{4} obtemos
\frac{1}{1-(-\tfrac{3}{4})}=\frac{1}{1+\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{\tfrac{7}{4}}=\frac{4}{7}.
Portanto a soma é \dfrac{4}{7}.

Passo 7

Cheque rápido por intuição (opcional, para ganhar confiança): os primeiros termos são
1,\; -\tfrac{3}{4},\; \tfrac{9}{16},\; -\tfrac{27}{64},\ldots
As somas parciais oscilam e vão se aproximando de aproximadamente 0{,}5714, que é exatamente \dfrac{4}{7}. Isso confirma que nosso resultado faz sentido numericamente.

Resposta

Converge
\dfrac{4}{7}

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