Questão 1 - Um elemento comprimido com comprimento de flambagem de
consiste em uma barra de seção cheia, de latão, com 30 mm de diâmetro. Para reduzir o peso do elemento em
, a barra de seção cheia é substituída por uma barra de seção vazada como a seção transversal mostrada. Determine (a) a porcentagem de redução na força crítica e (b) o valor da força crítica para a barra de seção vazada. Use
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Comprimento de flambagem (comprimento efetivo):
. - Barra original: seção cheia circular de diâmetro
. - A barra cheia é substituída por uma barra de seção vazada de modo que o peso (logo, a área da seção transversal) seja reduzido em
. - Módulo de elasticidade do latão:
. - Pedidos:
(a) a porcentagem de redução na força crítica de flambagem;
(b) o valor numérico da força crítica para a barra de seção vazada.
Observações que uso sem pedir mais dados: considero que o enunciado já forneceu o “comprimento de flambagem” como o comprimento efetivo
, então usarei
(equivalente a assumir fator de extremidade
se o comprimento geométrico for
).
Passo 2
Fórmula de flambagem (Euler) e significado das variáveis — a peça fundamental para resolver:
onde:
-
é a carga crítica de flambagem (força máxima que causa flambagem), -
é o módulo de elasticidade do material ( ), -
é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção transversal em torno do eixo de flambagem ( ), -
é o fator de extremidade (adiabático de encurvadura), e -
é o comprimento geométrico; é o comprimento efetivo para flambagem.
Importante:
é diretamente proporcional a
. Assim, qualquer variação percentual em
produz a mesma variação percentual em
.
Passo 3
Relacionamento entre redução de massa (peso) e área da seção transversal — como deduzo o diâmetro interno da seção vazada:
- Peso proporcional à área da seção (mesmo material e mesmo comprimento), logo “redução de
no peso” implica
Para a seção circular cheia com diâmetro
e a seção tubular com diâmetro externo
e interno
temos:
Igualando:
Logo
Com
obtemos
Passo 4
Calcular os momentos de inércia das seções (fórmulas e substituições):
- Momento de inércia de um círculo maciço (em relação ao eixo neutro passando pelo centro):
- Momento de inércia do tubo circular (externo
, interno ):
Como
temos
. Então
Portanto a razão entre os momentos de inércia é
. Como
, a razão entre as cargas críticas é a mesma:
A diminuição percentual da força crítica é
Isso responde o item (a): a força crítica reduz-se em
.
Passo 5
Cálculo numérico do momento de inércia e da força crítica para a seção vazada:
- Primeiro o momento de inércia da seção cheia (usar
):
- Momento de inércia da seção vazada:
- Agora aplicamos a fórmula de Euler com
e :
Fazendo as contas (aproximação numérica):
Resposta
(a)
(b)
(b)