Questão 1 - Um elemento comprimido com comprimento de flambagem de 1,5 \mathrm{~m} consiste em uma barra de seção cheia, de latão, com 30 mm de diâmetro. Para reduzir o peso do elemento em 25 \%, a barra de seção cheia é substituída por uma barra de seção vazada como a seção transversal mostrada. Determine (a) a porcentagem de redução na força crítica e (b) o valor da força crítica para a barra de seção vazada. Use E=105 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Comprimento de flambagem (comprimento efetivo): \,1,5\\ \mathrm{m}.
  • Barra original: seção cheia circular de diâmetro \,30\\ \mathrm{mm}.
  • A barra cheia é substituída por uma barra de seção vazada de modo que o peso (logo, a área da seção transversal) seja reduzido em 25\%.
  • Módulo de elasticidade do latão: \,E=105\\ \mathrm{GPa}.
  • Pedidos:
    (a) a porcentagem de redução na força crítica de flambagem;
    (b) o valor numérico da força crítica para a barra de seção vazada.
Observações que uso sem pedir mais dados: considero que o enunciado já forneceu o “comprimento de flambagem” como o comprimento efetivo KL, então usarei KL=1,5\\ \mathrm{m} (equivalente a assumir fator de extremidade K=1 se o comprimento geométrico for L=1,5\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Fórmula de flambagem (Euler) e significado das variáveis — a peça fundamental para resolver:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(KL)^{2}}
onde:
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (força máxima que causa flambagem),
  • E é o módulo de elasticidade do material ( \mathrm{Pa}),
  • I é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção transversal em torno do eixo de flambagem ( \mathrm{m}^{4}),
  • K é o fator de extremidade (adiabático de encurvadura), e
  • L é o comprimento geométrico; KL é o comprimento efetivo para flambagem.
Importante: P_{cr} é diretamente proporcional a I. Assim, qualquer variação percentual em I produz a mesma variação percentual em P_{cr}.

Passo 3

Relacionamento entre redução de massa (peso) e área da seção transversal — como deduzo o diâmetro interno da seção vazada:
  • Peso proporcional à área da seção (mesmo material e mesmo comprimento), logo “redução de 25\% no peso” implica
A_{vazada}=0{,}75\,A_{cheia}.
Para a seção circular cheia com diâmetro \,D e a seção tubular com diâmetro externo \,D e interno \,d temos:
A_{cheia}=\frac{\pi D^{2}}{4},\qquad A_{vazada}=\frac{\pi\left(D^{2}-d^{2}\right)}{4}.
Igualando:
\frac{\pi\left(D^{2}-d^{2}\right)}{4}=0{,}75\cdot\frac{\pi D^{2}}{4}\implies D^{2}-d^{2}=0{,}75D^{2}.
Logo
d^{2}=D^{2}-0{,}75D^{2}=0{,}25D^{2}\implies d=0{,}5D.
Com D=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m} obtemos
d=0{,}5\cdot0{,}03\\ \mathrm{m}=0{,}015\\ \mathrm{m}=15\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular os momentos de inércia das seções (fórmulas e substituições):
  • Momento de inércia de um círculo maciço (em relação ao eixo neutro passando pelo centro):
I_{cheia}=\frac{\pi D^{4}}{64}.
  • Momento de inércia do tubo circular (externo D, interno d):
I_{vazada}=\frac{\pi\left(D^{4}-d^{4}\right)}{64}.
Como d=0{,}5D temos d^{4}=(0{,}5)^{4}D^{4}=0{,}0625D^{4}. Então
I_{vazada}=\frac{\pi D^{4}}{64}\left(1-0{,}0625\right)=0{,}9375\;I_{cheia}.
Portanto a razão entre os momentos de inércia é \,I_{vazada}/I_{cheia}=0{,}9375. Como P_{cr}\propto I, a razão entre as cargas críticas é a mesma:
\frac{P_{cr,vazada}}{P_{cr,cheia}}=0{,}9375.
A diminuição percentual da força crítica é
\left(1-0{,}9375\right)\times100\%=0{,}0625\times100\%=6{,}25\%.
Isso responde o item (a): a força crítica reduz-se em 6{,}25\%.

Passo 5

Cálculo numérico do momento de inércia e da força crítica para a seção vazada:
  • Primeiro o momento de inércia da seção cheia (usar D=0{,}03\\ \mathrm{m}):
D^{4}=(0{,}03)^{4}=8{,}1\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{4},
I_{cheia}=\frac{\pi D^{4}}{64}=\frac{\pi\cdot 8{,}1\times10^{-7}}{64}=3{,}976092785\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^{4}.
  • Momento de inércia da seção vazada:
I_{vazada}=0{,}9375\;I_{cheia}=0{,}9375\times 3{,}976092785\times10^{-8}=3{,}726086861\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^{4}.
  • Agora aplicamos a fórmula de Euler com KL=1{,}5\\ \mathrm{m} e E=105\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I_{vazada}}{(KL)^{2}}=\frac{\pi^{2}\cdot 105\times10^{9}\cdot 3{,}726086861\times10^{-8}}{(1{,}5)^{2}}.
Fazendo as contas (aproximação numérica):
P_{cr}\approx 1{,}7161668\times10^{4}\\ \mathrm{N}\approx 17{,}16\\ \mathrm{kN}.

Resposta

(a) 6{,}25\%
(b) P_{cr}=17{,}16\\ \mathrm{kN}

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