Considere Gamma, a fronteira do quadrado com vértices nos pontos (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1) em mathbb{R}^{2}, orientada positivamente (i.e. no sentido anti-horário).
Sejam Gamma e D como no Teorema de Green. Mostre que a Área de D é dada por \frac{1}{2} \oint_{\Gamma} x d y-y d x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado \Gamma, a fronteira do quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), orientada positivamente (sentido anti-horário).
  • Seja D a região interior desse quadrado.
  • Pede-se para mostrar que a área de D é dada por
\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} x\,dy - y\,dx.
Lista das informações relevantes:
  • A curva \Gamma é fechada e simples (fronteira do quadrado).
  • A orientação é positiva (anti-horário).
  • Queremos relacionar uma integral de linha sobre \Gamma com a área de D.

Passo 2

Vamos apresentar a ferramenta que vamos usar (chegaremos ao resultado sem pular passos): o Teorema de Green. O Teorema de Green diz o seguinte para uma região D com fronteira simples e orientada positivamente \Gamma, e para funções P(x,y) e Q(x,y) com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de \overline{D}:
\oint_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando cada coisa:
  • \oint_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy é a integral de linha de um campo vetorial (P,Q) ao longo da fronteira \Gamma.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} significa a derivada parcial de Q em relação a x, e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • \iint_{D} \cdot \,dA é a integral dupla sobre a região D (isto é, somar a função sobre toda a área de D).
  • A orientação positiva (anti-horário) é necessária para que o Teorema de Green tenha esta forma direta (com sinal positivo do lado direito).

Passo 3

Queremos que a integral de linha que aparece no enunciado, \frac{1}{2}\oint_{\Gamma} (x\,dy - y\,dx), seja colocada no formato \oint_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy. Reescrevemos:
\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} (x\,dy - y\,dx) = \oint_{\Gamma} \left(-\frac{y}{2}\,dx + \frac{x}{2}\,dy\right).
Portanto uma escolha natural é
P(x,y) = -\frac{y}{2},\qquad Q(x,y) = \frac{x}{2}.
Isso garante que P\,dx + Q\,dy = \frac{1}{2}(x\,dy - y\,dx).

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais necessárias para aplicar Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{2}\right)=-\frac{1}{2}.
Agora a diferença que aparece no Teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)=1.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green com os P e Q escolhidos, obtemos
\oint_{\Gamma}\left(-\frac{y}{2}\,dx+\frac{x}{2}\,dy\right) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = \iint_{D} 1\,dA.
Mas \iint_{D} 1\,dA é exatamente a área de D. Logo
\oint_{\Gamma}\left(-\frac{y}{2}\,dx+\frac{x}{2}\,dy\right)=\text{Área}(D).Á
Voltando à forma do enunciado:
\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} (x\,dy - y\,dx)=\text{Área}(D).Á

Passo 6

Comentário sobre orientação: usamos o Teorema de Green na forma com sinal positivo à direita, o que exige orientação positiva (anti-horário). Se a curva estivesse orientada no sentido horário, o lado esquerdo mudaria de sinal e obteríamos a igualdade com sinal trocado; por isso é importante que \Gamma esteja orientada positivamente como dado no enunciado.

Passo 7

Para você ver que isto não é apenas formal, podemos verificar diretamente no caso do quadrado unitário. Parametrizando os quatro lados na ordem anti-horária:
  • Lado inferior: de (0,0) a (1,0). Aqui y=0, dy=0 e x varia de 0 a 1. Então x\,dy-y\,dx=0.
  • Lado direito: de (1,0) a (1,1). Aqui x=1, dx=0, dy varia de 0 a 1. Então x\,dy-y\,dx = 1\cdot dy. Integral desse lado é \int_{0}^{1} 1\,dy = 1.
  • Lado superior: de (1,1) a (0,1). Aqui y=1, dy=0, dx varia de 1 a 0. Então x\,dy-y\,dx = -1\cdot dx. Integral desse lado é \int_{1}^{0} -1\,dx = 1.
  • Lado esquerdo: de (0,1) a (0,0). Aqui x=0, dx=0, então x\,dy-y\,dx=0.
Somando as quatro contribuições:
\oint_{\Gamma} (x\,dy - y\,dx) = 0+1+1+0 = 2.
Logo \tfrac{1}{2}\oint_{\Gamma} (x\,dy - y\,dx) = 1, que é a área do quadrado unitário. Verificação feita.

Resposta

\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr)Á

Exercícios relacionados