Questão 4. Um elétron no átomo de hidrogÊnio está no estado
\psi(r, \theta, \varphi)=R_{3,2}(r)\left(\sqrt{\frac{1}{6}} Y_{2}^{1}(\theta, \varphi)+\sqrt{\frac{1}{2}} Y_{2}^{0}(\theta, \varphi)+\sqrt{\frac{1}{3}} Y_{2}^{-1}(\theta, \varphi)\right) .
(a) Qual é a energia do elétron?
(b) L^{2} é medido, quais valores podem ser encontrados?
(c) Se \vec{L}_{z} é medido, quais valores podem ser encontrados e com quais probabilidades?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\psi(r,\theta,\varphi)=R_{3,2}(r)\Big(\sqrt{\tfrac{1}{6}}\,Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)+\sqrt{\tfrac{1}{2}}\,Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)+\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)\Big).
As perguntas são:
(a) Qual é a energia do elétron?
(b) Se L^{2} é medido, quais valores podem ser encontrados?
(c) Se \vec{L}_{z} é medido, quais valores podem ser encontrados e com quais probabilidades?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O fator radial é R_{3,2}(r), ou seja há índices 3 e 2 no radial.
  • A dependência angular é uma combinação linear de harmônicos esféricos Y_{2}^{m} com m=1,0,-1 e coeficientes \sqrt{\tfrac{1}{6}}, \sqrt{\tfrac{1}{2}}, \sqrt{\tfrac{1}{3}}.
  • Os coeficientes são reais e a soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes é \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=1 (ou seja, o estado angular está normalizado).

Passo 2

Identificar o número quântico principal n e usar a fórmula da energia do átomo de hidrogênio.
A notação R_{3,2}(r) indica que o número quântico principal é n=3. Em átomos de hidrogênio a energia depende apenas de n, pela fórmula (energia dos níveis ligados):
E_n = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.
Aqui E_n é a energia do estado com número quântico principal n e 13{,}6\\ \text{eV} é a energia de ionização do estado fundamental ( n=1). Substituindo n=3 obtemos:
E_{3} = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{3^{2}} = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{9} \approx -1{,}51\\ \text{eV}.
Portanto a energia do elétron é -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{9} (aproximadamente -1{,}51\\ \text{eV}).

Passo 3

Entender o que acontece quando medimos L^{2}.
Os harmônicos esféricos Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) são autossoluções do operador L^{2} com autovalores dados por
L^{2} Y_{l}^{m} = \hbar^{2} l(l+1)\, Y_{l}^{m}.
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida, l é o número quântico do momento angular orbital e m é o número quântico magnético. No nosso estado todos os harmônicos têm l=2 (vemos isso no índice Y_{2}^{m}). Isso significa que todo o fator angular pertence ao subespaço com l=2. Portanto, se medirmos L^{2} o valor será sempre o autovalor correspondente a l=2:
L^{2} \to \hbar^{2}\,2(2+1)=6\hbar^{2}.
Como toda a função pertence a l=2, a probabilidade é 1 de obter 6\hbar^{2}.

Passo 4

Entender o que acontece quando medimos L_{z}.
Os harmônicos esféricos Y_{l}^{m} também são autossoluções do operador L_{z} com autovalores m\hbar:
L_{z} Y_{l}^{m} = m\hbar\, Y_{l}^{m}.
No estado dado temos uma combinação linear explícita nos autovetores de L_{z} para l=2 com m=1,0,-1. Quando medimos L_{z} sobre uma combinação linear de autovetores de L_{z}, os possíveis resultados são justamente os autovalores correspondentes ( m\hbar) e as probabilidades são os quadrados dos módulos dos coeficientes da expansão na base dos autovetores de L_{z}.

Passo 5

Calcular explicitamente os autovalores de L_{z} e as probabilidades.
Os termos na combinação são:
\sqrt{\tfrac{1}{6}}\,Y_{2}^{1},\qquad \sqrt{\tfrac{1}{2}}\,Y_{2}^{0},\qquad \sqrt{\tfrac{1}{3}}\,Y_{2}^{-1}.
Cada Y_{2}^{m} dá um resultado m\hbar se medirmos L_{z}. As probabilidades são os quadrados dos módulos dos coeficientes:
P(m=1)=\left|\sqrt{\tfrac{1}{6}}\right|^{2}=\tfrac{1}{6},
P(m=0)=\left|\sqrt{\tfrac{1}{2}}\right|^{2}=\tfrac{1}{2},
P(m=-1)=\left|\sqrt{\tfrac{1}{3}}\right|^{2}=\tfrac{1}{3}.
Verificação de normalização:
\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1+3+2}{6}=1,
ou seja, as probabilidades somam 1 como deve ser. Os autovalores correspondentes são m\hbar, então os resultados possíveis e suas probabilidades são:
  • m=1: L_{z}=\hbar com probabilidade \tfrac{1}{6}.
  • m=0: L_{z}=0 com probabilidade \tfrac{1}{2}.
  • m=-1: L_{z}=-\hbar com probabilidade \tfrac{1}{3}.

Passo 6

Resumo final (já calculado): energia determinada por n=3; medição de L^{2} dá único valor 6\hbar^{2}; medição de L_{z} dá três valores possíveis \hbar,0,-\hbar com probabilidades \tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3} respectivamente. Força aí — você já entendeu a lógica: identificar n no radial, ver que l é fixo pelos índices dos Y_{l}^{m} e usar a expansão em autovetores para obter probabilidades.

Resposta

(a) E_3=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{9}\approx -1{,}51\\ \text{eV}.
(b) L^{2}=6\hbar^{2} (certeza, probabilidade 1).
(c) L_{z}=\hbar com probabilidade \tfrac{1}{6}; L_{z}=0 com probabilidade \tfrac{1}{2}; L_{z}=-\hbar com probabilidade \tfrac{1}{3}.

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