(a) Qual é a energia do elétron?
(b) L^{2} é medido, quais valores podem ser encontrados?
(c) Se \vec{L}_{z} é medido, quais valores podem ser encontrados e com quais probabilidades?
As perguntas são:
(a) Qual é a energia do elétron?
(b) Se L^{2} é medido, quais valores podem ser encontrados?
(c) Se \vec{L}_{z} é medido, quais valores podem ser encontrados e com quais probabilidades?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O fator radial é R_{3,2}(r), ou seja há índices 3 e 2 no radial.
A dependência angular é uma combinação linear de harmônicos esféricos Y_{2}^{m} com m=1,0,-1 e coeficientes \sqrt{\tfrac{1}{6}}, \sqrt{\tfrac{1}{2}}, \sqrt{\tfrac{1}{3}}.
Os coeficientes são reais e a soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes é \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=1 (ou seja, o estado angular está normalizado).
Passo 2
Identificar o número quântico principal n e usar a fórmula da energia do átomo de hidrogênio.
A notação R_{3,2}(r) indica que o número quântico principal é n=3. Em átomos de hidrogênio a energia depende apenas de n, pela fórmula (energia dos níveis ligados):
E_n = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.
Aqui E_n é a energia do estado com número quântico principal n e 13{,}6\\ \text{eV} é a energia de ionização do estado fundamental (n=1). Substituindo n=3 obtemos:
Portanto a energia do elétron é -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{9} (aproximadamente -1{,}51\\ \text{eV}).
Passo 3
Entender o que acontece quando medimos L^{2}.
Os harmônicos esféricos Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) são autossoluções do operador L^{2} com autovalores dados por
L^{2} Y_{l}^{m} = \hbar^{2} l(l+1)\, Y_{l}^{m}.
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida, l é o número quântico do momento angular orbital e m é o número quântico magnético. No nosso estado todos os harmônicos têm l=2 (vemos isso no índice Y_{2}^{m}). Isso significa que todo o fator angular pertence ao subespaço com l=2. Portanto, se medirmos L^{2} o valor será sempre o autovalor correspondente a l=2:
L^{2} \to \hbar^{2}\,2(2+1)=6\hbar^{2}.
Como toda a função pertence a l=2, a probabilidade é 1 de obter 6\hbar^{2}.
Passo 4
Entender o que acontece quando medimos L_{z}.
Os harmônicos esféricos Y_{l}^{m} também são autossoluções do operador L_{z} com autovalores m\hbar:
L_{z} Y_{l}^{m} = m\hbar\, Y_{l}^{m}.
No estado dado temos uma combinação linear explícita nos autovetores de L_{z} para l=2 com m=1,0,-1. Quando medimos L_{z} sobre uma combinação linear de autovetores de L_{z}, os possíveis resultados são justamente os autovalores correspondentes (m\hbar) e as probabilidades são os quadrados dos módulos dos coeficientes da expansão na base dos autovetores de L_{z}.
Passo 5
Calcular explicitamente os autovalores de L_{z} e as probabilidades.
Os termos na combinação são:
ou seja, as probabilidades somam 1 como deve ser. Os autovalores correspondentes são m\hbar, então os resultados possíveis e suas probabilidades são:
m=1: L_{z}=\hbar com probabilidade \tfrac{1}{6}.
m=0: L_{z}=0 com probabilidade \tfrac{1}{2}.
m=-1: L_{z}=-\hbar com probabilidade \tfrac{1}{3}.
Passo 6
Resumo final (já calculado): energia determinada por n=3; medição de L^{2} dá único valor 6\hbar^{2}; medição de L_{z} dá três valores possíveis \hbar,0,-\hbar com probabilidades \tfrac{1}{6},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3} respectivamente. Força aí — você já entendeu a lógica: identificar n no radial, ver que l é fixo pelos índices dos Y_{l}^{m} e usar a expansão em autovetores para obter probabilidades.
Resposta
(a) E_3=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{9}\approx -1{,}51\\ \text{eV}.
(b) L^{2}=6\hbar^{2} (certeza, probabilidade 1).
(c) L_{z}=\hbar com probabilidade \tfrac{1}{6}; L_{z}=0 com probabilidade \tfrac{1}{2}; L_{z}=-\hbar com probabilidade \tfrac{1}{3}.