Questão 3. No estado fundamental do átomo de hidrogênio, qual é a probabilidade do elétron ser encontrado na região interior ao raio de Bohr? (Dado: R_{1,0}(r)=2 a_{0}^{-3 / 2} e^{-r / a_{0}}, em que a_{0} é o raio de Bohr).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade do elétron ser encontrado na região interior ao raio de Bohr, ou seja, dentro de r=a_{0}. As informações dadas são:
  • A função radial do estado fundamental é \displaystyle R_{1,0}(r)=2\,a_{0}^{-3/2}\,e^{-r/a_{0}}, em que a_{0} é o raio de Bohr.
  • Queremos a probabilidade de encontrar o elétron para 0\le r\le a_{0}.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: a função de onda total em coordenadas esféricas separa em parte radial e angular. Para o estado fundamental (quantum numbers n=1,\; l=0,\; m=0) a função de onda é
\Psi(r,\theta,\varphi)=R_{1,0}(r)\,Y_{0}^{0}(\theta,\varphi),
onde Y_{0}^{0}(\theta,\varphi) é a armónica esférica correspondente. A probabilidade de encontrar o elétron numa região do espaço é a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre essa região:
P(\text{região})=\int_{\text{região}} |\Psi|^{2}\,dV.ãã
Aqui dV é o elemento de volume em coordenadas esféricas, que vale
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Explicando a parte angular: a armónica esférica Y_{0}^{0} é uma função constante com valor
Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}.
Ela é normalizada de forma que
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} |Y_{0}^{0}|^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = 1.
Isso significa que, ao calcular a probabilidade radial, a integral angular simplesmente dá 1 e sobra apenas a integral radial com fator r^{2}.

Passo 4

Portanto a probabilidade procurada é
P(r\le a_{0})=\int_{0}^{a_{0}} |R_{1,0}(r)|^{2}\,r^{2}\,dr.
Aqui explico cada termo: |R_{1,0}(r)|^{2} é a densidade radial (módulo ao quadrado da parte radial), r^{2} vem do elemento de volume, e dr integra sobre o raio desde 0 até a_{0}.

Passo 5

Substituindo R_{1,0}(r)=2\,a_{0}^{-3/2}\,e^{-r/a_{0}} temos
|R_{1,0}(r)|^{2}=4\,a_{0}^{-3}\,e^{-2r/a_{0}}.
Logo
P(r\le a_{0})=\int_{0}^{a_{0}} 4\,a_{0}^{-3}\,e^{-2r/a_{0}}\,r^{2}\,dr.
Podemos tirar constantes fora da integral:
P(r\le a_{0})=4\,a_{0}^{-3}\int_{0}^{a_{0}} r^{2}e^{-2r/a_{0}}\,dr.

Passo 6

Para calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{a_{0}} r^{2}e^{-2r/a_{0}}\,dr usemos a primitiva conhecida (obtida por partes ou por tabela):
\int r^{2}e^{-\alpha r}\,dr = e^{-\alpha r}\left(-\frac{r^{2}}{\alpha}-\frac{2r}{\alpha^{2}}-\frac{2}{\alpha^{3}}\right)+C,
com \displaystyle \alpha=\frac{2}{a_{0}}. Avaliando de 0 a a_{0} obtemos
\int_{0}^{a_{0}} r^{2}e^{-2r/a_{0}}\,dr = e^{-2}\left(-\frac{a_{0}^{2}}{\alpha}-\frac{2a_{0}}{\alpha^{2}}-\frac{2}{\alpha^{3}}\right) - \left(-\frac{2}{\alpha^{3}}\right).

Passo 7

Agora substituímos \displaystyle \alpha=\frac{2}{a_{0}} e simplificamos os termos passo a passo. Primeiro calculemos as potências de 1/\alpha:
\frac{1}{\alpha}=\frac{a_{0}}{2},\qquad \frac{1}{\alpha^{2}}=\frac{a_{0}^{2}}{4},\qquad \frac{1}{\alpha^{3}}=\frac{a_{0}^{3}}{8}.
Então
\frac{a_{0}^{2}}{\alpha}=\frac{a_{0}^{3}}{2},\quad \frac{2a_{0}}{\alpha^{2}}=\frac{a_{0}^{3}}{2},\quad \frac{2}{\alpha^{3}}=\frac{a_{0}^{3}}{4}.
Somando os três termos dentro do parêntese temos
\frac{a_{0}^{3}}{2}+\frac{a_{0}^{3}}{2}+\frac{a_{0}^{3}}{4}=\frac{5}{4}a_{0}^{3}.
Portanto a integral vale
\int_{0}^{a_{0}} r^{2}e^{-2r/a_{0}}\,dr = -e^{-2}\,\frac{5}{4}a_{0}^{3} + \frac{a_{0}^{3}}{4} = \frac{a_{0}^{3}}{4}\left(1-5e^{-2}\right).

Passo 8

Voltando para a expressão de P(r\le a_{0}):
P(r\le a_{0})=4\,a_{0}^{-3}\times \frac{a_{0}^{3}}{4}\left(1-5e^{-2}\right)=1-5e^{-2}.
Esse é o resultado exato. Agora um valor numérico aproximado: usando e^{-2}\approx 0{,}135335,
P(r\le a_{0})\approx 1-5\times 0{,}135335 \approx 0{,}3233236,
ou seja, cerca de 32{,}33\%. Boa notícia: menos de metade da densidade eletrônica está dentro do raio de Bohr — isso é normal para o estado fundamental do hidrogênio.

Resposta

1-5e^{-2}\approx 0{,}3233

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