Questão 3. No estado fundamental do átomo de hidrogênio, qual é a probabilidade do elétron ser encontrado na região interior ao raio de Bohr? (Dado:
, em que
é o raio de Bohr).
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade do elétron ser encontrado na região interior ao raio de Bohr, ou seja, dentro de
. As informações dadas são:
- A função radial do estado fundamental é
, em que é o raio de Bohr. - Queremos a probabilidade de encontrar o elétron para
.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar: a função de onda total em coordenadas esféricas separa em parte radial e angular. Para o estado fundamental (quantum numbers
) a função de onda é
onde
é a armónica esférica correspondente. A probabilidade de encontrar o elétron numa região do espaço é a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre essa região:
Aqui
é o elemento de volume em coordenadas esféricas, que vale
Passo 3
Explicando a parte angular: a armónica esférica
é uma função constante com valor
Ela é normalizada de forma que
Isso significa que, ao calcular a probabilidade radial, a integral angular simplesmente dá
e sobra apenas a integral radial com fator
.
Passo 4
Portanto a probabilidade procurada é
Aqui explico cada termo:
é a densidade radial (módulo ao quadrado da parte radial),
vem do elemento de volume, e
integra sobre o raio desde
até
.
Passo 5
Substituindo
temos
Logo
Podemos tirar constantes fora da integral:
Passo 6
Para calcular a integral
usemos a primitiva conhecida (obtida por partes ou por tabela):
com
. Avaliando de
a
obtemos
Passo 7
Agora substituímos
e simplificamos os termos passo a passo. Primeiro calculemos as potências de
:
Então
Somando os três termos dentro do parêntese temos
Portanto a integral vale
Passo 8
Voltando para a expressão de
:
Esse é o resultado exato. Agora um valor numérico aproximado: usando
,
ou seja, cerca de
. Boa notícia: menos de metade da densidade eletrônica está dentro do raio de Bohr — isso é normal para o estado fundamental do hidrogênio.