Questão 6

Um elétron no interior de um poço quadrado infinito de largura L=10^{-12} \mathrm{~m} está se movendo com velocidade relativística; isso significa que o momento do elétron não é dado por p=(2 m E)^{1 / 2}.
(a) Use o princípio da incerteza para confirmar que a velocidade é relativística.
(b) Encontre uma expressão para os níveis permitidos de energia do elétron.
(c) Calcule o valor de E_{1}.
(d) Qual é a diferença relativa entre o valor relativístico e o valor não relativístico de E_{1} ?

Passo 1

O enunciado dá um elétron confinado num poço quadrado infinito de largura L=10^{-12}\\ \mathrm{m}. Pergunta-se:
(a) usar o princípio da incerteza para confirmar que a velocidade é relativística;
(b) encontrar uma expressão para os níveis permitidos de energia do elétron (relativisticamente);
(c) calcular o valor de E_1;
(d) calcular a diferença relativa entre o valor relativístico e o valor não relativístico de E_1.
Informações relevantes dadas:
  • Largura do poço: L=10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  • Partícula: elétron, com massa de repouso m (usar m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}), e constante de Planck reduzida \hbar (usar \hbar=1{,}0545718\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}).
  • Velocidade de referência: c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Pede-se comparar resultados relativísticos e não relativísticos.

Passo 2

Entender e usar o princípio da incerteza de Heisenberg (aula rápida e aplicável).
  • O princípio diz que, para posição e momento,
\Delta x\,\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2}.
Isto significa que se uma partícula está confinado a uma região de tamanho \Delta x, então seu momento tem incerteza pelo menos da ordem de \hbar/(2\Delta x).
  • No poço a partícula está confinada em comprimento da ordem de L. Tomando \Delta x\sim L (estimativa típica), obtemos uma estimativa de limite inferior para \Delta p:
\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2L}.
  • Tomando essa estimativa e usando a relação não relativística p\approx m v apenas para estimar a ordem de grandeza da velocidade, obtemos
v_{\text{est}}\gtrsim \frac{\hbar}{2mL}.
Agora vamos calcular numericamente essa estimativa:
\frac{\hbar}{2mL}=\frac{1{,}0545718\times10^{-34}}{2\cdot 9{,}10938356\times10^{-31}\cdot 10^{-12}} =5{,}79\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Em fração de c:
\frac{v_{\text{est}}}{c}\gtrsim\frac{5{,}79\times10^{7}}{2{,}9979\times10^{8}}\approx0{,}193.
Comentário didático: isso já indica uma velocidade significativa ( \sim 0{,}2c), ou seja efeito relativístico não pode ser desprezado. Mas podemos dar uma demonstração ainda mais forte usando a quantização do momento (próximo passo).

Passo 3

Quantização do momento no poço (aula rápida sobre condição de contorno e onda estacionária).
  • Para uma partícula livre confinada entre paredes infinitas em 0\le x\le L as soluções de onda estacionária são senos com nós nas paredes; o comprimento de onda de de Broglie da moda n satisfaz \lambda_n=2L/n. A relação de de Broglie dá
p_n=\frac{h}{\lambda_n}=\frac{n h}{2L}=\frac{n\pi\hbar}{L}.
  • Portanto o menor momento (fundamental) é
p_1=\frac{\pi\hbar}{L}.
Isso não é um palpite: vem das condições de contorno (onda estacionária) e vale tanto em regime não relativístico quanto quando se usa a relação relativística entre energia e momento (a forma da função de onda livre fixa o momento quantizado).
  • Compare p_1 com m c. É útil usar o comprimento de onda de Compton reduzido do elétron \bar{\lambda}=\hbar/(m c). Então
\frac{p_1}{m c}=\frac{\pi\hbar}{m c\,L}=\pi\,\frac{\bar{\lambda}}{L}.
Calcule \bar{\lambda}:
\bar{\lambda}=\frac{\hbar}{m c}\approx\frac{1{,}0545718\times10^{-34}}{9{,}10938356\times10^{-31}\cdot 2{,}99792458\times10^{8}} \approx 3{,}862\times10^{-13}\\ \mathrm{m}.
Logo
\frac{p_1}{m c}=\pi\frac{3{,}862\times10^{-13}}{10^{-12}}\approx 1{,}212>1.
  • Interpretação: p_1>m c. Se p é maior que m c a relação não relativística p=\sqrt{2mE} (que supõe E\ll m c^2) falha; a energia cinética é de mesma ordem que a energia de repouso e a formulação relativística deve ser usada. Por isso confirmamos (com mais força que pela simples estimativa do passo anterior) que o elétron está em regime relativístico.
Resposta parcial (a): Sim — a incerteza/quantização levam a p_1>m c, logo o elétron é relativístico.

Passo 4

Expressão dos níveis de energia no regime relativístico (aula sobre relação energia-momento e escolha da definição de energia).
  • A relação relativística entre energia total E_{\text{tot}} e momento p é
E_{\text{tot}}=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}.
A energia cinética (a que normalmente chamamos de “energia do nível” no contexto da mecânica quântica não-relativística quando subtraímos o repouso) é
E_{\text{kin}}=E_{\text{tot}}-m c^{2}=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-m c^{2}.
  • Substituindo p_n=\dfrac{n\pi\hbar}{L} obtemos a expressão dos níveis permitidos (kinéticos):
\boxed{\,E_n=\sqrt{\left(\dfrac{n\pi\hbar c}{L}\right)^{2}+m^{2}c^{4}}\;-\;m c^{2}\,}.
Essa é a expressão pedida no (b). Observação: alguns enunciados pedem a energia total; nesse caso usar E_{\text{tot}}=\sqrt{(\cdot)+m^{2}c^{4}}. Aqui usei a energia cinética (diferença para o repouso), que é o análogo direto de E_n não-relativístico.

Passo 5

Cálculo numérico de E_1 (passo a passo, sem pular contas).
  • Primeiro calcule p_1:
p_1=\frac{\pi\hbar}{L}=\frac{3{,}14159265\cdot 1{,}0545718\times10^{-34}}{10^{-12}} \approx 3{,}314\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\;m/s}.
  • Calcule p_1 c e m c^{2} (em joules):
p_1 c\approx 3{,}314\times10^{-22}\cdot 2{,}99792458\times10^{8}\approx 9{,}938\times10^{-14}\\ \mathrm{J},
m c^{2}\approx 9{,}10938356\times10^{-31}\cdot (2{,}99792458\times10^{8})^{2}\approx 8{,}18710565\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
  • Calcule a energia total e a energia cinética:
E_{\text{tot},1}=\sqrt{(p_1 c)^{2}+(m c^{2})^{2}} =\sqrt{(9{,}938\times10^{-14})^{2}+(8{,}1871\times10^{-14})^{2}} \approx 1{,}2875\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
E_{1}=E_{\text{kin},1}=E_{\text{tot},1}-m c^{2}\approx 1{,}2875\times10^{-13}-8{,}1871\times10^{-14} \approx 4{,}688\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
  • Converter para elétron-volts ( 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_{1}\approx\frac{4{,}688\times10^{-14}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\approx 2{,}926\times10^{5}\\ \mathrm{eV}=292{,}6\\ \mathrm{keV}.

Passo 6

Cálculo do valor não relativístico de E_1 e comparação (passo a passo).
  • Fórmula não relativística para níveis do poço infinito:
E_{n}^{\text{(nr)}}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}.
Para n=1:
E_{1}^{\text{(nr)}}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} \approx 6{,}023\times10^{-14}\\ \mathrm{J}\approx 3{,}763\times10^{5}\\ \mathrm{eV}=376{,}3\\ \mathrm{keV}.
(Esse número foi calculado com as constantes usadas acima.)
  • Diferença absoluta:
\Delta E=E_{1}^{\text{(nr)}}-E_{1}^{\text{(rel)}}\approx 6{,}023\times10^{-14}-4{,}688\times10^{-14}=1{,}335\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
  • Diferença relativa: como existe ambiguidade sobre a base da relativização (relativa a qual valor), mostro as duas formas usuais:
    1. Relativa ao valor relativístico:
    \frac{E_{1}^{\text{(nr)}}-E_{1}^{\text{(rel)}}}{E_{1}^{\text{(rel)}}}\approx\frac{1{,}335\times10^{-14}}{4{,}688\times10^{-14}}\approx 0{,}285\approx 28{,}5\%.
    1. Relativa ao valor não relativístico:
    \frac{E_{1}^{\text{(nr)}}-E_{1}^{\text{(rel)}}}{E_{1}^{\text{(nr)}}}\approx\frac{1{,}335\times10^{-14}}{6{,}023\times10^{-14}}\approx 0{,}222\approx 22{,}2\%.
  • Interpretação: o valor não-relativístico superestima a energia do primeiro nível em cerca de 22{,}2\% (se comparar com o valor não-relativístico) ou, dito de outra forma, o valor não-relativístico é aproximadamente 28{,}5\% maior do que o valor relativístico quando tomado em relação ao valor relativístico.

Resposta

(a) Sim. A incerteza/quantização levam a p_1=\dfrac{\pi\hbar}{L}>m c (a razão p_1/(m c)\approx 1{,}212), portanto o elétron é relativístico.
(b) \displaystyle E_n=\sqrt{\left(\dfrac{n\pi\hbar c}{L}\right)^{2}+m^{2}c^{4}}\;-\;m c^{2}.
(c) E_{1}\approx 4{,}688\times10^{-14}\\ \mathrm{J}\approx 2{,}926\times10^{5}\\ \mathrm{eV}\\ (292{,}6\\ \mathrm{keV}).
(d) Diferença relativa: \dfrac{E_{1}^{\text{(nr)}}-E_{1}^{\text{(rel)}}}{E_{1}^{\text{(rel)}}}\approx 28{,}5\% (equivalente a 22{,}2\% se calculada em relação a E_{1}^{\text{(nr)}}).

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