Questão 6
Um elétron no interior de um poço quadrado infinito de largura
está se movendo com velocidade relativística; isso significa que o momento do elétron não é dado por
.
(a) Use o princípio da incerteza para confirmar que a velocidade é relativística.
(b) Encontre uma expressão para os níveis permitidos de energia do elétron.
(c) Calcule o valor de
.
(d) Qual é a diferença relativa entre o valor relativístico e o valor não relativístico de
?
(a) Use o princípio da incerteza para confirmar que a velocidade é relativística.
(b) Encontre uma expressão para os níveis permitidos de energia do elétron.
(c) Calcule o valor de
(d) Qual é a diferença relativa entre o valor relativístico e o valor não relativístico de
Passo 1
O enunciado dá um elétron confinado num poço quadrado infinito de largura
. Pergunta-se:
(a) usar o princípio da incerteza para confirmar que a velocidade é relativística;
(b) encontrar uma expressão para os níveis permitidos de energia do elétron (relativisticamente);
(c) calcular o valor de ;
(d) calcular a diferença relativa entre o valor relativístico e o valor não relativístico de .
(a) usar o princípio da incerteza para confirmar que a velocidade é relativística;
(b) encontrar uma expressão para os níveis permitidos de energia do elétron (relativisticamente);
(c) calcular o valor de
(d) calcular a diferença relativa entre o valor relativístico e o valor não relativístico de
Informações relevantes dadas:
- Largura do poço:
. - Partícula: elétron, com massa de repouso
(usar ), e constante de Planck reduzida (usar ). - Velocidade de referência:
. - Pede-se comparar resultados relativísticos e não relativísticos.
Passo 2
Entender e usar o princípio da incerteza de Heisenberg (aula rápida e aplicável).
- O princípio diz que, para posição e momento,
Isto significa que se uma partícula está confinado a uma região de tamanho
, então seu momento tem incerteza pelo menos da ordem de
.
- No poço a partícula está confinada em comprimento da ordem de
. Tomando (estimativa típica), obtemos uma estimativa de limite inferior para :
- Tomando essa estimativa e usando a relação não relativística
apenas para estimar a ordem de grandeza da velocidade, obtemos
Agora vamos calcular numericamente essa estimativa:
Em fração de
:
Comentário didático: isso já indica uma velocidade significativa (
), ou seja efeito relativístico não pode ser desprezado. Mas podemos dar uma demonstração ainda mais forte usando a quantização do momento (próximo passo).
Passo 3
Quantização do momento no poço (aula rápida sobre condição de contorno e onda estacionária).
- Para uma partícula livre confinada entre paredes infinitas em
as soluções de onda estacionária são senos com nós nas paredes; o comprimento de onda de de Broglie da moda satisfaz . A relação de de Broglie dá
- Portanto o menor momento (fundamental) é
Isso não é um palpite: vem das condições de contorno (onda estacionária) e vale tanto em regime não relativístico quanto quando se usa a relação relativística entre energia e momento (a forma da função de onda livre fixa o momento quantizado).
- Compare
com . É útil usar o comprimento de onda de Compton reduzido do elétron . Então
Calcule
:
Logo
- Interpretação:
. Se é maior que a relação não relativística (que supõe ) falha; a energia cinética é de mesma ordem que a energia de repouso e a formulação relativística deve ser usada. Por isso confirmamos (com mais força que pela simples estimativa do passo anterior) que o elétron está em regime relativístico.
Resposta parcial (a): Sim — a incerteza/quantização levam a
, logo o elétron é relativístico.
Passo 4
Expressão dos níveis de energia no regime relativístico (aula sobre relação energia-momento e escolha da definição de energia).
- A relação relativística entre energia total
e momento é
A energia cinética (a que normalmente chamamos de “energia do nível” no contexto da mecânica quântica não-relativística quando subtraímos o repouso) é
- Substituindo
obtemos a expressão dos níveis permitidos (kinéticos):
Essa é a expressão pedida no (b). Observação: alguns enunciados pedem a energia total; nesse caso usar
. Aqui usei a energia cinética (diferença para o repouso), que é o análogo direto de
não-relativístico.
Passo 5
Cálculo numérico de
(passo a passo, sem pular contas).
- Primeiro calcule
:
- Calcule
e (em joules):
- Calcule a energia total e a energia cinética:
- Converter para elétron-volts (
):
Passo 6
Cálculo do valor não relativístico de
e comparação (passo a passo).
- Fórmula não relativística para níveis do poço infinito:
Para
:
(Esse número foi calculado com as constantes usadas acima.)
- Diferença absoluta:
- Diferença relativa: como existe ambiguidade sobre a base da relativização (relativa a qual valor), mostro as duas formas usuais:
- Relativa ao valor relativístico:
- Relativa ao valor não relativístico:
- Interpretação: o valor não-relativístico superestima a energia do primeiro nível em cerca de
(se comparar com o valor não-relativístico) ou, dito de outra forma, o valor não-relativístico é aproximadamente maior do que o valor relativístico quando tomado em relação ao valor relativístico.
Resposta
(a) Sim. A incerteza/quantização levam a
(a razão
), portanto o elétron é relativístico.
(b)
(c)
(d) Diferença relativa: (equivalente a
se calculada em relação a
).
(b)
(c)
(d) Diferença relativa: