Questão 5

Considere o potencial do poço quadrado finito:
V(x)= \begin{cases}-V_{0}, & \text { para }-a \leq x \leq a \\\\ 0, & \text { para }|x|>a\end{cases}
Para este potencial, encontre a solução geral da função de onda.

Passo 1

O enunciado dá o potencial do poço quadrado finito
V(x)= \begin{cases}-V_{0}, & \text{para }-a \le x \le a,\\[4pt] 0, & \text{para }|x|>a,\end{cases}
e pede que a solução geral da função de onda seja encontrada.
Informações e o que é pedido (lista clara):
  • O problema envolve a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão.
  • Devemos escrever a solução geral \psi(x) em cada região do eixo x (região interna -a\le x\le a e regiões externas x<-a e x>a).
  • É necessário relacionar as constantes das soluções das diferentes regiões usando as condições de contorno (continuidade de \psi e de \psi' em x=\pm a).
  • Diferentes faixas de energia E mudam a forma das soluções (estados ligados E<0, estados de espalhamento E>0, e casos formais E<-V_0). O enunciado pede a solução geral, então vou apresentar a forma geral em cada região e explicar as consequências para os casos físicos relevantes.]

Passo 2

A equação de Schrödinger estacionária em 1D é
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi.
Reescrevendo,
\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\bigl(E-V(x)\bigr)\psi=0.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes em cada região onde V(x) é constante. Portanto podemos resolver separadamente em cada região e depois aplicar as condições de contorno em x=\pm a.

Passo 3

Definimos duas quantidades úteis (que dependem de E):
k_1\equiv\sqrt{\frac{2m\bigl(E+V_0\bigr)}{\hbar^2}},\qquad \kappa\equiv\sqrt{\frac{2m\bigl|E\bigr|}{\hbar^2}}.
Observações sobre sinais:
  • Dentro do poço, para -a\le x\le a, V(x)=-V_0 e a equação fica \psi''+k_1^2\psi=0 com k_1 real se E>-V_0 (oscilações internas).
  • Nas regiões externas, V(x)=0 e a equação é \psi''+\dfrac{2mE}{\hbar^2}\psi=0. Se E>0 introduzimos k\equiv\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^2}} e obtemos soluções oscilatórias; se E<0 usamos \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(-E)}{\hbar^2}} e obtemos decaimento exponencial.
Vou escrever as soluções gerais por região sem impor ainda as condições de contorno.

Passo 4

Soluções gerais nas três regiões (forma mais geral, válida para qualquer [E), com a ressalva de interpretação das constantes conforme o sinal de E):
Região I: x<-a (fora, à esquerda), V=0.
\psi_I(x)=\begin{cases} A e^{ikx}+B e^{-ikx}, & \text{se }E>0\\ (\text{com }k=\sqrt{2mE}/\hbar),\\[4pt] F e^{\kappa x}+G e^{-\kappa x}, & \text{se }E<0\\ (\kappa=\sqrt{2m(-E)}/\hbar). \end{cases}
Região II: -a\le x\le a\] (dentro do poço), \(V=-V_0.
\psi_{II}(x)=C\cos\bigl(k_1 x\bigr)+D\sin\bigl(k_1 x\bigr),
onde
k_1=\sqrt{\frac{2m\bigl(E+V_0\bigr)}{\hbar^2}}.
(Se E+V_0<0 então k_1 é imaginário e as soluções se tornam exponenciais; isto corresponde ao caso formal E<-V_0.)
Região III: x>a (fora, à direita), V=0.
\psi_{III}(x)=\begin{cases} F' e^{ikx}+G' e^{-ikx}, & \text{se }E>0,\\[4pt] H e^{-\kappa x}+I e^{\kappa x}, & \text{se }E<0. \end{cases}
Esses são os módulos gerais. Para cada caso físico devemos escolher as constantes que produzem funções fisicamente admissíveis (por exemplo normais e sem divergência ao infinito).]

Passo 5

Condições de contorno que ligam as constantes:
  • \psi deve ser contínua em x=\pm a.
  • \psi' deve ser contínua em x=\pm a (potencial tem salto finito, então derivada é contínua).
Escrevendo as quatro equações para os pontos x=\pm a (usando as formas escolhidas para cada faixa de energia) obtém-se um sistema linear para as constantes. Em geral esse sistema dá:
  • Para estados ligados ( E<0) aparecem condições que só admitem soluções não-triviais para valores discretos de E (equações transcendentes que quantizam E).
  • Para estados de espalhamento ( E>0) obtém-se amplitudes de reflexão e transmissão.
Vou detalhar os dois casos físicos mais importantes.

Passo 6

Estados ligados (caseiro mais comum): -V_0<E<0.
  • Fora do poço ( |x|>a) devemos ter função integrável (decair quando |x|\to\infty), então escolhemos apenas os exponenciais decrescentes:
\psi_I(x)=A e^{\kappa x}\quad(x<-a),\qquad \psi_{III}(x)=B e^{-\kappa x}\quad(x>a),
onde \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(-E)}{\hbar^2}}>0.
  • Dentro do poço ( -a\le x\le a) temos solução oscilatória
\psi_{II}(x)=C\cos(k_1 x)+D\sin(k_1 x), \qquad k_1=\sqrt{\dfrac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}}>0.
Como o potencial é simétrico, as soluções podem ser escolhidas de paridade definida (isso simplifica muito):
  • Soluções pares (even): \psi(-x)=\psi(x). Então dentro do poço D=0 e \psi_{II}(x)=C\cos(k_1 x). As condições em x=a dão (após eliminar constantes comuns)
k_1 \tan\bigl(k_1 a\bigr)=\kappa.
  • Soluções ímpares (odd): \psi(-x)=-\psi(x). Então dentro do poço C=0 e \psi_{II}(x)=D\sin(k_1 x). As condições em x=a dão
-\,k_1 \cot\bigl(k_1 a\bigr)=\kappa.
Essas duas equações transcendentes determinam os valores discretos de E (pois k_1 e \kappa dependem de E via k_1=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar e \kappa=\sqrt{2m(-E)}/\hbar). Uma forma muito usada é escrever ambas como
k_1\tan(k_1 a)=\kappa\quad(\text{par}),\qquad k_1\tan(k_1 a)=-\frac{k_1^2}{\kappa}\\ (\text{impar}),
ou manter a forma anterior mais direta:
k_1\tan(k_1 a)=\kappa \quad\text{(par)},\qquad -k_1\cot(k_1 a)=\kappa\quad\text{(ímpar)}.í
Modo prático na prova: substitua as expressões de k_1 e \kappa em termos de E e resolva numericamente/graphicamente as equações acima. Cada interseção válida dá um nível ligado. Depois determine as constantes relativas (por exemplo A em função de C) e normalize \psi.

Passo 7

Estados de espalhamento ( E>0):
  • Fora do poço ( |x|>a) as soluções são planas (oscilações):
\psi_I(x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx},\qquad \psi_{III}(x)=F e^{ikx}+G e^{-ikx},
com k=\sqrt{2mE}/\hbar.
  • Dentro: \psi_{II}(x)=C\cos(k_1 x)+D\sin(k_1 x) com k_1=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar (note que E+V_0>0 se E>0, então k_1 é real).
  • Aplicando continuidade em x=\pm a determina as amplitudes de reflexão e transmissão. Solução usual em problemas de espalhamento é tomar onda incidente vindo da esquerda ( A\neq0, G=0) e achar B (reflexão) e F (transmissão).

Passo 8

Comentários práticos e normalização:
  • Para estados ligados normalizar \psi exige calcular integrais com exponenciais e funções trigonométricas; após fixar energia (resolvendo as equações transcendentes) as constantes relativas são determinadas pelas igualdades em x=\pm a e a normalização fixa a amplitude global.
  • Para estados de espalhamento usa-se normalmente condições de contorno de onda incidente/refletida/transmitida e a normalização pode ser feita por fluxo (ou normalização \delta-funcional).
  • Caso formal E<-V_0: dentro do poço as soluções são exponenciais e fora também; fisicamente essas energias não correspondem a estados ligados localizados no poço (a menos de potenciais adicionais) e as soluções geralmente divergem ou não são normais; esse caso é raramente relevante fisicamente no problema padrão.

Resposta

Solução geral por regiões:
Para |x|>a\) (fora do poço, \(V=0\)): \[\psi(x)=\begin{cases} A e^{ikx}+B e^{-ikx}, & \text{se }E>0,\\ k=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^2}},\\[6pt] A e^{\kappa x}+B e^{-\kappa x}, & \text{se }E<0,\\ \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(-E)}{\hbar^2}}. \end{cases}
Para -a\le x\le a\] (dentro do poço, \(V=-V_0):
\psi(x)=C\cos\bigl(k_1 x\bigr)+D\sin\bigl(k_1 x\bigr), \qquad k_1=\sqrt{\dfrac{2m\bigl(E+V_0\bigr)}{\hbar^2}}.
As constantes são relacionadas pelas condições de continuidade de \psi e \psi' em x=\pm a. Para estados ligados ( -V_0<E<0) escolhendo as soluções que decaem quando |x|\to\infty obtém-se as equações de quantização (paridade definida):
Par (even):
k_1\tan\bigl(k_1 a\bigr)=\kappa,
Ímpar (odd):
-\,k_1\cot\bigl(k_1 a\bigr)=\kappa,
com \;k_1=\sqrt{\dfrac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}},\;\kappa=\sqrt{\dfrac{2m(-E)}{\hbar^2}}.
Para E>0 obtém-se as soluções de espalhamento com amplitudes de reflexão e transmissão determinadas pela aplicação das mesmas condições de continuidade.]

Exercícios relacionados