Suponha que \boldsymbol{x} pertença a \mathbb{R}^{3} e encontre a matriz associada à forma quadrática.
8 x_{1}^{2}+7 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}

Passo 1

O enunciado dá uma forma quadrática em \mathbb{R}^{3} e pede que encontremos a matriz associada. A forma quadrática fornecida é
8 x_{1}^{2}+7 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}.
As perguntas implícitas: qual é a matriz A tal que, para \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T},
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=8 x_{1}^{2}+7 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} ?

Passo 2

O que é uma matriz associada a uma forma quadrática?
Uma forma quadrática em \mathbb{R}^{n} pode ser escrita como \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}, onde A é uma matriz simétrica n\times n. Aqui \boldsymbol{x}=(x_{1},\dots,x_{n})^{T}. Explicando a relação entre os termos da forma e os elementos de A:
  • Os termos quadráticos x_{i}^{2} aparecem como A_{ii}x_{i}^{2}. Ou seja, o elemento da diagonal A_{ii} é exatamente o coeficiente de x_{i}^{2}.
  • Os termos mistos x_{i}x_{j} (com i\neq j) aparecem duas vezes em \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}: como A_{ij}x_{i}x_{j} e A_{ji}x_{j}x_{i}. Se A é simétrica ( A_{ij}=A_{ji}), o coeficiente total de x_{i}x_{j} na forma é 2A_{ij}. Portanto, para um termo misto com coeficiente c na forma dada, temos A_{ij}=A_{ji}=c/2.

Passo 3

Aplicando as regras acima aos termos da forma dada. Vou listar cada coeficiente e o correspondente elemento de A:
  • Coeficiente de x_{1}^{2} é 8. Logo A_{11}=8.
  • Coeficiente de x_{2}^{2} é 7. Logo A_{22}=7.
  • Coeficiente de x_{3}^{2} é -3. Logo A_{33}=-3.
  • Coeficiente do termo x_{1}x_{2} é -6. Então A_{12}=A_{21}=\frac{-6}{2}=-3.
  • Coeficiente do termo x_{1}x_{3} é 4. Então A_{13}=A_{31}=\frac{4}{2}=2.
  • Coeficiente do termo x_{2}x_{3} é -2. Então A_{23}=A_{32}=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 4

Agora escrevo a matriz A montada com esses elementos. É uma matriz simétrica 3\times3 cujas entradas são os A_{ij} encontrados:
A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\\\ -3 & 7 & -1 \\\\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Verificação curta (para você poder aplicar o mesmo raciocínio na prova): calcular \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} pela expansão de A
8x_{1}^{2}+2\cdot(-3)x_{1}x_{2}+2\cdot 2 x_{1}x_{3}+7x_{2}^{2}+2\cdot(-1)x_{2}x_{3}-3x_{3}^{2},
que simplifica exatamente para a forma dada
8 x_{1}^{2}+7 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}.
Pronto — a matriz encontrada está correta.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\\\ -3 & 7 & -1 \\\\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}

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