O que é uma matriz associada a uma forma quadrática?
Uma forma quadrática em \mathbb{R}^{n} pode ser escrita como \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}, onde A é uma matriz simétrica n\times n. Aqui \boldsymbol{x}=(x_{1},\dots,x_{n})^{T}. Explicando a relação entre os termos da forma e os elementos de A:
Os termos quadráticos x_{i}^{2} aparecem como A_{ii}x_{i}^{2}. Ou seja, o elemento da diagonal A_{ii} é exatamente o coeficiente de x_{i}^{2}.
Os termos mistos x_{i}x_{j} (com i\neq j) aparecem duas vezes em \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}: como A_{ij}x_{i}x_{j} e A_{ji}x_{j}x_{i}. Se A é simétrica (A_{ij}=A_{ji}), o coeficiente total de x_{i}x_{j} na forma é 2A_{ij}. Portanto, para um termo misto com coeficiente c na forma dada, temos A_{ij}=A_{ji}=c/2.
Passo 3
Aplicando as regras acima aos termos da forma dada. Vou listar cada coeficiente e o correspondente elemento de A:
Coeficiente de x_{1}^{2} é 8. Logo A_{11}=8.
Coeficiente de x_{2}^{2} é 7. Logo A_{22}=7.
Coeficiente de x_{3}^{2} é -3. Logo A_{33}=-3.
Coeficiente do termo x_{1}x_{2} é -6. EntãoA_{12}=A_{21}=\frac{-6}{2}=-3.
Coeficiente do termo x_{1}x_{3} é 4. EntãoA_{13}=A_{31}=\frac{4}{2}=2.
Coeficiente do termo x_{2}x_{3} é -2. EntãoA_{23}=A_{32}=\frac{-2}{2}=-1.
Passo 4
Agora escrevo a matriz A montada com esses elementos. É uma matriz simétrica 3\times3 cujas entradas são os A_{ij} encontrados: