Questão 2 - Elétron com velocidade e força dadas: determinar \vec{B} \left(\operatorname{com} B_{x}=0\right)

Enunciado resumido: Um elétron tem \vec{v}=(40 \hat{\imath}+35 \hat{\jmath}) \mathrm{km} / \mathrm{s} e a força sobre ele é \vec{F}=(-4,2 \hat{\imath}+ 4,8 \hat{j}) \mathrm{fN}. Assuma B_{x}=0. Determine \vec{B}.
Dados e conversões:
  • \vec{v}=\left(4,0 \times 10^{4} \hat{\imath}+3,5 \times 10^{4} \hat{\jmath}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}.
  • \vec{F}=\left(-4,2 \times 10^{-15} \hat{\imath}+4,8 \times 10^{-15} \hat{\jmath}\right) \mathrm{N}.
  • Carga do elétron q=-e=-1,602176634 \times 10^{-19} \mathrm{C}.
  • Suponha \vec{B}=\left(0,0, B_{z}\right).
Equação: \vec{F}=q(\vec{v} \times \vec{B}). Com \vec{B}=\left(0,0, B_{z}\right), tem-se
\vec{v} \times \vec{B}=\left(v_{y} B_{z}\right) \hat{\imath}+\left(-v_{x} B_{z}\right) \hat{\jmath}
Logo
F_{x}=q v_{y} B_{z}, \quad F_{y}=-q v_{x} B_{z} .
Cálculo:
  • B_{z}=\frac{F_{x}}{q v_{y}}=\frac{-4,2 \times 10^{-15}}{\left(-1,602176634 \times 10^{-19}\right)\left(3,5 \times 10^{4}\right)} \approx 0,74898 \mathrm{~T}.
  • Conferência com B_{z} a partir de F_{y} : B_{z}=\frac{F_{y}}{-q v_{x}} dá o mesmo valor (consistente).
Resposta final: \vec{B} \approx 0,749 \hat{k} \mathrm{~T} (ou +0,749 \mathrm{~T} na direção +z ).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o campo magnético \vec{B} supondo que B_{x}=0 e que \vec{B}=(0,0,B_{z}), a partir da equação da força magnética sobre uma carga em movimento \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B}).
Informações fornecidas (vou listá‑las exatamente como foram dadas, já convertidas onde necessário):
\vec{v}=\left(4,0\times10^{4}\,\hat{\imath}+3,5\times10^{4}\,\hat{\jmath}\right)\mathrm{\,m/s},
\vec{F}=\left(-4,2\times10^{-15}\,\hat{\imath}+4,8\times10^{-15}\,\hat{\jmath}\right)\mathrm{\,N},
q=-e=-1,602176634\times10^{-19}\,\mathrm{C},
\vec{B}=(0,0,B_{z})\quad\text{(suposição do enunciado).}çã
Pergunta explícita a responder: encontrar B_{z} (e portanto \vec{B}) compatível com os dados.

Passo 2

Lembrete da fórmula e do que é o produto vetorial (explicação curta mas cuidadosa):
A força magnética sobre uma partícula de carga q que se move com velocidade \vec{v} num campo magnético \vec{B} é
\vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B}).
O produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} produz um vetor perpendicular a \vec{v} e a \vec{B}; suas componentes podem ser obtidas com a regra da determinante (ou lembrando a forma para componentes). Se \vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) e \vec{B}=(B_{x},B_{y},B_{z}), então
\vec{v}\times\vec{B}=\big(v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\big)\hat{\imath}+\big(v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\big)\hat{\jmath}+\big(v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\big)\hat{k}.
No nosso caso simplificado temos v_{z}=0 (não foi dado componente em z) e B_{x}=B_{y}=0, somente B_{z}\neq0. Substituindo esses zeros na expressão do produto vetorial, obtemos a forma reduzida que será usada.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial no caso \vec{v}=(v_{x},v_{y},0) e \vec{B}=(0,0,B_{z}):
\vec{v}\times\vec{B}=(v_{y}B_{z})\hat{\imath}+(-v_{x}B_{z})\hat{\jmath}+0\cdot\hat{k}.
Multiplicando pela carga q dá as componentes da força:
F_{x}=q\,v_{y}\,B_{z},\qquad F_{y}=-q\,v_{x}\,B_{z},\qquad F_{z}=0.
Estas são as equações escalares que vamos usar para determinar B_{z}. Note que aqui é importante o sinal de q: como q é negativo (elétron), isso afeta o sinal das componentes.

Passo 4

Agora vou usar os valores numéricos dados. Reescrevendo-os em notação clara:
v_{x}=4,0\times10^{4}\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{y}=3,5\times10^{4}\\ \mathrm{m/s},
F_{x}=-4,2\times10^{-15}\\ \mathrm{N},\qquad F_{y}=4,8\times10^{-15}\\ \mathrm{N},
q=-1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Usaremos as fórmulas do passo anterior para isolar B_{z}. Por exemplo a partir de F_{x}=q\,v_{y}\,B_{z} temos
B_{z}=\frac{F_{x}}{q\,v_{y}}.
É importante fazer com cuidado a questão do sinal: F_{x} e q são ambos negativos (no caso de F_{x} dado), então o quociente pode ficar positivo.

Passo 5

Cálculo de B_{z} usando a equação com F_{x}. Primeiro calculo o produto q\,v_{y}:
q\,v_{y}=(-1,602176634\times10^{-19})\times(3,5\times10^{4}).
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
(-1,602176634)\times3,5=-5,607618219,
e o fator de potência é 10^{-19}\times10^{4}=10^{-15}. Assim
q\,v_{y}=-5,607618219\times10^{-15}\\ \mathrm{(C\cdot m/s)}.
Agora
B_{z}=\frac{F_{x}}{q\,v_{y}}=\frac{-4,2\times10^{-15}}{-5,607618219\times10^{-15}}.
Os fatores 10^{-15} cancelam, ficando
B_{z}=\frac{4,2}{5,607618219}\approx0,74898\\ \mathrm{T}.
Arredondando de forma prática para três casas decimais:
B_{z}\approx0,749\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Verificação consistente usando a equação com F_{y}. Da fórmula F_{y}=-q\,v_{x}\,B_{z} isolamos
B_{z}=\frac{F_{y}}{-q\,v_{x}}.
Calculo o denominador:
-q\,v_{x}=-(-1,602176634\times10^{-19})\times(4,0\times10^{4})=(+1,602176634)\times4,0\times10^{-15}=6,408706536\times10^{-15}.
Então
B_{z}=\frac{4,8\times10^{-15}}{6,408706536\times10^{-15}}=\frac{4,8}{6,408706536}\approx0,74898\\ \mathrm{T},
que novamente dá B_{z}\approx0,749\\ \mathrm{T}. A coincidência dos dois resultados confirma que os dados são consistentes e que escolhemos corretamente o sinal e magnitudes.

Passo 7

Interpretação física e sinal: obtivemos B_{z}>0, ou seja o campo aponta na direção +z. Lembre que para um elétron (carga negativa) a força magnética q(\vec{v}\times\vec{B}) tem direção oposta àquela que seria para uma carga positiva com a mesma velocidade; nós já levamos isso em conta usando q<0.
Agora escrevo o vetor campo magnético completo:
\vec{B}=(0,0,B_{z})\approx(0,0,0,749)\\ \mathrm{T}.
(Usando a notação de vetor unitário, \hat{k} corresponde a \hat{z}.)

Resposta

\displaystyle \vec{B}\approx0,749\,\hat{k}\\ \mathrm{T}

Exercícios relacionados