Determine o valor das somas a seguir com seus respectivos intervalos de convergência.
I. \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}
II. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+2}}{n+1}
(a) S_{I}=\frac{x}{(1-x)^{2}},-1 \leq x \leq 1, S_{I I}=\ln \left(1+x^{2}\right),-1 \leq x \leq 1
(b) S_{I}=\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}},-1<x<1, \quad S_{I I}=\ln \left(1+x^{2}\right),-1 \leq x \leq 1
(c) S_{I}=\frac{x}{(1-x)^{2}},-1<x<1, S_{I I}=\ln (1+x),-1 \leq x \leq 1
(d) S_{I}=\frac{x}{(1-x)^{2}},-1<x<1, S_{I I}=\ln \left(1-x^{2}\right),-1 \leq x \leq 1
(e) S_{I}=\frac{x}{(1-x)^{2}},-1<x<1, S_{I I}=\ln \left(1+x^{2}\right),-1 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as somas das duas séries e os respectivos intervalos (ou intervalos de convergência). As séries são:
I. \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}
II. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+2}}{n+1}
As perguntas são: encontrar a expressão fechada (a soma) de cada série e indicar para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Vamos resolver a série I. Primeiro lembrete útil (que usaremos): a soma da série geométrica é
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}\quad\text{para}\quad |x|<1.
Explico rápido por que isso vale: se chamarmos S=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} e multiplicarmos por x obtemos xS=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}. Subtraindo S-xS=1 e isolando S vem a fórmula acima. Essa soma converge somente para |x|<1.

Passo 3

Ainda para a série I: diferenciando termo a termo a igualdade da série geométrica (válido para |x|<1) temos
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando por x obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Como o termo n=0 de \sum_{n=0}^\infty n x^n é 0, esta soma é a mesma da soma acima. Portanto, para |x|<1 temos a expressão fechada
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Agora verificamos os extremos |x|=1 para a série I:
  • Em x=1 a série vira \sum_{n=0}^{\infty} n, que diverge (os termos não tendem a zero).
  • Em x=-1 a série vira \sum_{n=0}^{\infty} n(-1)^{n}. Os termos n(-1)^n não tendem a zero (a magnitude cresce), então também diverge.
    Logo o intervalo de convergência da série I é -1<x<1.

Passo 5

Agora a série II. Primeiro reindexamos para enxergar um padrão. Seja u=x^{2} (note que u\ge0). Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{n+1} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{\,n+1}}{n+1}.
Faça a mudança de índice m=n+1. Então m vai de 2 a \infty e a soma fica
\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{u^{m}}{m}.

Passo 6

Conhecemos a série do logaritmo (para |u|<1; e que converge também para u=1 por convergência alternada):
\ln(1+u)=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{u^{m}}{m}.
Comparando com o que temos, nossa soma é a mesma soma acima, porém com o primeiro termo ( m=1) removido. Portanto
\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{u^{m}}{m} =\ln(1+u)-\underbrace{(-1)^{0}\frac{u^{1}}{1}}_{=u} =\ln(1+u)-u.
Voltando a u=x^{2}, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{n+1}=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)-x^{2}.

Passo 7

Agora o intervalo de convergência da série II. A série original em u tem raio 1 (é a série de \ln(1+u) modificada), então para u= x^{2} isso dá |x|<1. Verificamos os extremos:
  • Em x=1 (ou u=1) a série vira \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+1}, que é uma série alternada com termos em módulo \frac{1}{n+1} que decrescem para 0, portanto converge (teste da série alternada). O valor é \ln(2)-1, que coincide com \ln(1+1)-1.
  • Em x=-1 temos o mesmo u=1, então converge para o mesmo valor.
    Portanto o intervalo de convergência da série II é -1\le x\le 1.

Passo 8

Resumo e observação final (importante): as expressões finais são
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\quad -1<x<1,
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{n+1}=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)-x^{2},\quad -1\le x\le 1.
Note que algumas alternativas da questão múltipla parecem apresentar \ln(1+x^{2}) (sem o -x^{2}) para a série II; isso corresponderia ao caso em que a soma começasse em n=0. Como o enunciado dado começa em n=1, o termo -x^{2} aparece e é essencial.

Resposta

\displaystyle S_{I}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\;-1<x<1
\displaystyle S_{II}=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)-x^{2},\;-1\le x\le 1

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