Questão 4: Um elevador de 2000 kg com os cabos quebrados cai a 4.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre a mola de amortecimento no funco do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando sofre uma compressão de 2.0 m . Durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante igual a 17000 N.
(a) [0,5] A energia mecânica é conservada? Justifique sua resposta.
(b) [1,0] Qual é a constante de força k necessária para a mola desse elevador?
(c) [1,0] Em um segundo acidente, o elevador estava carregando duas pessoas de 70 kg além da carga máxima. Quanto a mola foi comprimida até parar nesse caso, considerando que o elevador cai a 5.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado) e as perguntas que precisamos responder.
Dados extraídos do enunciado:
  • massa do elevador: m=2000\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade do elevador ao atingir a mola no primeiro acidente: v_0=4{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • compressão prevista da mola para parar o elevador no primeiro acidente: x=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • força de atrito (braçadeira) constante atuando durante a compressão: F_{\rm fric}=17000\\ \mathrm{N}.
  • aceleração da gravidade (valor padrão que usarei): g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
(a) [0,5] A energia mecânica é conservada? Justifique.
(b) [1,0] Qual é a constante elástica k necessária para a mola (usar os dados do primeiro acidente)?
(c) [1,0] No segundo acidente, o elevador carrega mais duas pessoas de 70\\ \mathrm{kg} cada (ou seja, massa total aumenta). O elevador cai a 5{,}0\\ \mathrm{m/s}. Qual a compressão da mola até parar nesse caso?

Passo 2

Conceitos e ideias que vamos usar (explicação didática):
  • Energia cinética: a energia associada à velocidade de um corpo é \tfrac{1}{2}mv^2. Aqui \,m é a massa em quilogramas e v a velocidade em \mathrm{m/s}.
  • Energia potencial elástica da mola: quando uma mola é comprimida uma distância x, a energia armazenada é \tfrac{1}{2}k x^2, onde k é a constante elástica em \mathrm{N/m}.
  • Trabalho de uma força constante: se uma força constante F atua ao longo de um deslocamento x na direção oposta ao movimento, o trabalho realizado por essa força é W=-F x (negativo porque retira energia do sistema).
  • Trabalho da gravidade durante deslocamento vertical x no mesmo sentido do peso: W_{\rm grav} = +mg x (positivo se o corpo desce e o peso faz trabalho a favor do movimento).
  • Princípio do trabalho-energia (ou balanço da energia mecânica com forças não conservativas): a variação da energia cinética é igual ao trabalho total das forças. Para um corpo que parte com energia cinética inicial e pára ( K_{\rm final}=0), fazemos balanço das energias/ trabalhos para encontrar k ou x.
Observação prática: como a braçadeira exerce uma força de atrito constante, ela é uma força não conservativa — portanto a energia mecânica (energia cinética + energia potencial) NÃO será conservada ao longo da compressão: parte da energia mecânica vai ser dissipada (calor). Isso será discutido explicitamente na resposta ao item (a).

Passo 3

Relação de energia que usaremos para os cálculos (dedução passo a passo):
Considere o instante em que a mola começa a ser comprimida como referência de posição x=0. Durante a compressão até x o elevador sofre:
  • perda da energia cinética inicial \tfrac{1}{2} m v_0^2 até parar,
  • ganho de energia potencial elástica \tfrac{1}{2} k x^2 armazenada na mola,
  • trabalho positivo da gravidade +mg x (pois o elevador desce),
  • trabalho negativo da força de atrito -F_{\rm fric} x.
Aplicando o balanço de energia (energia inicial + trabalhos = energia final). Energia inicial: \tfrac{1}{2} m v_0^2. Energia final (quando para): nenhuma energia cinética, só energia armazenada na mola. Portanto, escrevemos:
\frac{1}{2} m v_0^2 + mg x - F_{\rm fric} x - \frac{1}{2} k x^2 = 0.
Esta equação diz: a energia cinética inicial mais o trabalho da gravidade devem ser consumidos (em parte) pela mola e (em parte) pela força de atrito. Reescrevendo para isolar \tfrac{1}{2}k x^2:
\frac{1}{2}k x^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 + mg x - F_{\rm fric} x.
Multiplicando por 2 e isolando k:
k = \frac{m v_0^2 + 2 m g x - 2 F_{\rm fric} x}{x^2}.
Essa é a fórmula que vamos usar no item (b). (Tudo acima é deduzido passo a passo: expliquei o que representa cada termo.)

Passo 4

Resposta ao item (a) — energia mecânica conservada?
A resposta curta: Não, a energia mecânica NÃO é conservada.
Justificativa didática: para que a energia mecânica (energia cinética + potencial) fosse conservada, só atuariam forças conservativas (por exemplo peso e mola). Porém o enunciado informa que há uma braçadeira de segurança que exerce uma força de atrito constante F_{\rm fric}=17000\\ \mathrm{N}. O atrito é uma força não conservativa que transforma parte da energia mecânica em calor (dissipa energia). Assim, ao longo da compressão da mola, parte da energia cinética e potencial é removida pelo trabalho da força de atrito; portanto a energia mecânica total não se conserva. (Resposta objetiva e justificativa.)

Passo 5

Cálculo do item (b): encontrar k usando os dados do primeiro acidente.
Substituindo os valores na fórmula deduzida:
  • m=2000\\ \mathrm{kg},
  • v_0=4{,}0\\ \mathrm{m/s},
  • x=2{,}0\\ \mathrm{m},
  • F_{\rm fric}=17000\\ \mathrm{N},
  • g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Calculemos primeiro os termos do numerador:
m v_0^2 = 2000\cdot(4{,}0)^2 = 2000\cdot 16 = 32000.
2 m g x = 2\cdot 2000\cdot 9{,}8\cdot 2{,}0 = 2\cdot 2000\cdot 19{,}6 = 4000\cdot 19{,}6 = 78400.
2 F_{\rm fric} x = 2\cdot 17000\cdot 2{,}0 = 34000\cdot 2{,}0 = 68000.
Agora o numerador:
m v_0^2 + 2 m g x - 2 F_{\rm fric} x = 32000 + 78400 - 68000 = 42400.
O denominador é x^2 = (2{,}0)^2 = 4{,}0.
Portanto
k = \frac{42400}{4{,}0} = 10600\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação: a mola precisa ter constante elástica k=1{,}06\times10^{4}\\ \mathrm{N/m} para parar o elevador nas condições dadas.

Passo 6

Cálculo do item (c): compressão da mola quando o elevador carrega duas pessoas a mais e cai mais rápido.
Dados agora:
  • massa adicional: duas pessoas de 70\\ \mathrm{kg} cada \Rightarrow massa extra =2\cdot 70 = 140\\ \mathrm{kg}.
  • massa total agora: m' = 2000 + 140 = 2140\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade inicial no contato com a mola: v_0' = 5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • constante elástica da mola: k=10600\\ \mathrm{N/m} (valor do item (b), a mola não mudou).
  • força de atrito continua F_{\rm fric}=17000\\ \mathrm{N}.
  • g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Equação de energia (mesma derivação que antes), mas agora m\to m' e v_0\to v_0', incógnita x':
\frac{1}{2} m' {v_0'}^2 + m' g x' - F_{\rm fric} x' - \frac{1}{2} k x'^2 = 0.
Rearranjando para uma forma quadrática em x':
\frac{1}{2}k x'^2 - (m' g - F_{\rm fric}) x' - \frac{1}{2} m' {v_0'}^2 = 0.
Multiplicando por 2 para facilitar:
k x'^2 - 2(m' g - F_{\rm fric}) x' - m' {v_0'}^2 = 0.
Isto é uma equação quadrática da forma a x'^2 + b x' + c = 0 com
a = k,\quad b = -2(m' g - F_{\rm fric}),\quad c = - m' {v_0'}^2.
Agora calculamos os números:
m' g = 2140\cdot 9{,}8 = 20972\\ \mathrm{N}.
2(m' g - F_{\rm fric}) = 2(20972 - 17000) = 2\cdot 3972 = 7944.
m' {v_0'}^2 = 2140\cdot (5{,}0)^2 = 2140\cdot 25 = 53500.
Logo a equação numérica é
10600\, x'^2 - 7944\, x' - 53500 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A raiz positiva será o deslocamento físico:
x' = \frac{7944 \pm \sqrt{7944^2 + 4\cdot 10600 \cdot 53500}}{2\cdot 10600}.
Calculamos o discriminante passo a passo:
7944^2 = 63\,107\,136.
4\cdot 10600 \cdot 53500 = 2\,268\,400\,000.
\text{Discriminante} = 63\,107\,136 + 2\,268\,400\,000 = 2\,331\,507\,136.
A raiz quadrada aproximada é
\sqrt{2\,331\,507\,136} \approx 48285{,}7.
Portanto a solução física (raiz positiva) é
x' = \frac{7944 + 48285{,}7}{21200} \approx \frac{56229{,}7}{21200} \approx 2{,}65\\ \mathrm{m}.
(A raiz negativa corresponde a solução matemática não física aqui e é descartada.)

Passo 7

Interpretação final do item (c): com as duas pessoas a mais e maior velocidade inicial, a mola agora será comprimida aproximadamente 2{,}65\\ \mathrm{m} até parar o sistema — isto é maior que os 2{,}0\\ \mathrm{m} projetados, portanto indicaria risco de atingir fim de curso ou comprimir mais que o esperado.

Resposta

(a) Não. A energia mecânica não é conservada porque há uma força de atrito constante ( F_{\rm fric}=17000\\ \mathrm{N}) que realiza trabalho não conservativo e dissipa energia.
(b) k=10600\\ \mathrm{N/m}.
(c) x'\approx 2{,}65\\ \mathrm{m}.

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