Questão 4: Um elevador de 2000 kg com os cabos quebrados cai a
sobre a mola de amortecimento no funco do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando sofre uma compressão de 2.0 m . Durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante igual a
.
(a)
A energia mecânica é conservada? Justifique sua resposta.
(b)
Qual é a constante de força
necessária para a mola desse elevador?
(c)
Em um segundo acidente, o elevador estava carregando duas pessoas de 70 kg além da carga máxima. Quanto a mola foi comprimida até parar nesse caso, considerando que o elevador cai a
?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado) e as perguntas que precisamos responder.
Dados extraídos do enunciado:
- massa do elevador:
. - velocidade do elevador ao atingir a mola no primeiro acidente:
. - compressão prevista da mola para parar o elevador no primeiro acidente:
. - força de atrito (braçadeira) constante atuando durante a compressão:
. - aceleração da gravidade (valor padrão que usarei):
.
Perguntas:
(a) A energia mecânica é conservada? Justifique.
(b) Qual é a constante elástica
necessária para a mola (usar os dados do primeiro acidente)?
(c) No segundo acidente, o elevador carrega mais duas pessoas de
cada (ou seja, massa total aumenta). O elevador cai a
. Qual a compressão da mola até parar nesse caso?
(a)
(b)
(c)
Passo 2
Conceitos e ideias que vamos usar (explicação didática):
- Energia cinética: a energia associada à velocidade de um corpo é
. Aqui é a massa em quilogramas e a velocidade em . - Energia potencial elástica da mola: quando uma mola é comprimida uma distância
, a energia armazenada é , onde é a constante elástica em . - Trabalho de uma força constante: se uma força constante
atua ao longo de um deslocamento na direção oposta ao movimento, o trabalho realizado por essa força é (negativo porque retira energia do sistema). - Trabalho da gravidade durante deslocamento vertical
no mesmo sentido do peso: (positivo se o corpo desce e o peso faz trabalho a favor do movimento). - Princípio do trabalho-energia (ou balanço da energia mecânica com forças não conservativas): a variação da energia cinética é igual ao trabalho total das forças. Para um corpo que parte com energia cinética inicial e pára (
), fazemos balanço das energias/ trabalhos para encontrar ou .
Observação prática: como a braçadeira exerce uma força de atrito constante, ela é uma força não conservativa — portanto a energia mecânica (energia cinética + energia potencial) NÃO será conservada ao longo da compressão: parte da energia mecânica vai ser dissipada (calor). Isso será discutido explicitamente na resposta ao item (a).
Passo 3
Relação de energia que usaremos para os cálculos (dedução passo a passo):
Considere o instante em que a mola começa a ser comprimida como referência de posição . Durante a compressão até
o elevador sofre:
Considere o instante em que a mola começa a ser comprimida como referência de posição
- perda da energia cinética inicial
até parar, - ganho de energia potencial elástica
armazenada na mola, - trabalho positivo da gravidade
(pois o elevador desce), - trabalho negativo da força de atrito
.
Aplicando o balanço de energia (energia inicial + trabalhos = energia final). Energia inicial:
. Energia final (quando para): nenhuma energia cinética, só energia armazenada na mola. Portanto, escrevemos:
Esta equação diz: a energia cinética inicial mais o trabalho da gravidade devem ser consumidos (em parte) pela mola e (em parte) pela força de atrito. Reescrevendo para isolar
:
Multiplicando por 2 e isolando
:
Essa é a fórmula que vamos usar no item (b). (Tudo acima é deduzido passo a passo: expliquei o que representa cada termo.)
Passo 4
Resposta ao item (a) — energia mecânica conservada?
A resposta curta: Não, a energia mecânica NÃO é conservada.
A resposta curta: Não, a energia mecânica NÃO é conservada.
Justificativa didática: para que a energia mecânica (energia cinética + potencial) fosse conservada, só atuariam forças conservativas (por exemplo peso e mola). Porém o enunciado informa que há uma braçadeira de segurança que exerce uma força de atrito constante
. O atrito é uma força não conservativa que transforma parte da energia mecânica em calor (dissipa energia). Assim, ao longo da compressão da mola, parte da energia cinética e potencial é removida pelo trabalho da força de atrito; portanto a energia mecânica total não se conserva. (Resposta objetiva e justificativa.)
Passo 5
Cálculo do item (b): encontrar
usando os dados do primeiro acidente.
Substituindo os valores na fórmula deduzida:
-
, -
, -
, -
, -
.
Calculemos primeiro os termos do numerador:
Agora o numerador:
O denominador é
.
Portanto
Interpretação: a mola precisa ter constante elástica
para parar o elevador nas condições dadas.
Passo 6
Cálculo do item (c): compressão da mola quando o elevador carrega duas pessoas a mais e cai mais rápido.
Dados agora:
- massa adicional: duas pessoas de
cada massa extra . - massa total agora:
. - velocidade inicial no contato com a mola:
. - constante elástica da mola:
(valor do item (b), a mola não mudou). - força de atrito continua
. -
.
Equação de energia (mesma derivação que antes), mas agora
e
, incógnita
:
Rearranjando para uma forma quadrática em
:
Multiplicando por
para facilitar:
Isto é uma equação quadrática da forma
com
Agora calculamos os números:
Logo a equação numérica é
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A raiz positiva será o deslocamento físico:
Calculamos o discriminante passo a passo:
A raiz quadrada aproximada é
Portanto a solução física (raiz positiva) é
(A raiz negativa corresponde a solução matemática não física aqui e é descartada.)
Passo 7
Interpretação final do item (c): com as duas pessoas a mais e maior velocidade inicial, a mola agora será comprimida aproximadamente
até parar o sistema — isto é maior que os
projetados, portanto indicaria risco de atingir fim de curso ou comprimir mais que o esperado.
Resposta
(a) Não. A energia mecânica não é conservada porque há uma força de atrito constante (
) que realiza trabalho não conservativo e dissipa energia.
(b) .
(c) .
(b)
(c)