Q3 - Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v_{0}. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 7,4 \mathrm{~cm}, após 1 s . Considere e^{-1}=0,37, e^{-2}=0,14 \mathrm{e} e^{-3}=0,05. A velocidade inicial, v_{o} e posição no instante t=2 s são respectivamente:
□ (a) 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 2.8 cm
□ (b) 20 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 1.4 cm
□ (c) 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 5.6 cm
□ (d) 20 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 5.6 cm
□ (e) NDA

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Foi dado um oscilador criticamente amortecido que parte da posição de equilíbrio, ou seja \,x(0)=0\,.
  • Recebe um impulso que lhe dá velocidade inicial \,v_0 (isto é, \dot{x}(0)=v_0).
  • Verifica-se que ele passa pelo deslocamento máximo igual a \,7{,}4\\ \mathrm{cm} ao tempo \,t=1\\ \mathrm{s}.
  • Também são fornecidos os valores aproximados: \,e^{-1}=0{,}37,\\ e^{-2}=0{,}14,\\ e^{-3}=0{,}05.
    O enunciado pede:
  • Determinar a velocidade inicial \,v_0 e a posição \,x(2\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Qual é a forma da solução para amortecimento crítico e o que significam os parâmetros?
  • Para um oscilador linear criticamente amortecido a solução geral da equação homogênea é da forma
x(t) = (A + B t)\,e^{-\omega_0 t},
onde:
  • \,A e \,B são constantes determinadas pelas condições iniciais;
  • \,\omega_0 é a frequência natural do sistema (em \mathrm{s^{-1}}), que aparece nos coeficientes da equação diferencial;
  • a presença do fator e^{-\omega_0 t} representa o decaimento exponencial devido ao amortecimento.
    Esta forma resulta do fato de que a equação característica tem uma raiz dupla quando o amortecimento é crítico, daí o termo t e^{-\omega_0 t}.

Passo 3

Aplicar as condições iniciais para simplificar a solução.
  • Como \,x(0)=0, substituindo t=0 em \,x(t)=(A+Bt)e^{-\omega_0 t}
x(0) = A\cdot e^{0} = A = 0.
  • Portanto a solução reduz-se a
x(t) = B\,t\,e^{-\omega_0 t}.
  • Vamos relacionar B com a velocidade inicial. A velocidade é a derivada:
\dot{x}(t) = \frac{d}{dt}\big(Bt e^{-\omega_0 t}\big).
Fazendo a derivada (produto de Bt por e^{-\omega_0 t}):
\dot{x}(t) = B e^{-\omega_0 t} + B t \big(-\omega_0\big) e^{-\omega_0 t} = B e^{-\omega_0 t}\big(1 - \omega_0 t\big).
  • Em t=0 isso dá \dot{x}(0)=B. Como \dot{x}(0)=v_0, obtemos
B = v_0.
Assim podemos escrever a solução usando diretamente v_0:
x(t) = v_0\,t\,e^{-\omega_0 t}, \qquad \dot{x}(t) = v_0\,e^{-\omega_0 t}\big(1-\omega_0 t\big).

Passo 4

Usar a condição de máximo em t=1\\ \mathrm{s} para achar \omega_0.
  • Um máximo (local) de x(t) ocorre quando \dot{x}(t)=0. Pelo resultado anterior,
\dot{x}(t)=0 \quad\Rightarrow\quad v_0\,e^{-\omega_0 t}\big(1-\omega_0 t\big)=0.
  • Como v_0\neq0 (o impulso foi dado) e e^{-\omega_0 t}\neq0 para todo t, a condição reduz-se a
1-\omega_0 t = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{t}.
  • Como o máximo ocorre em t=1\\ \mathrm{s}, obtemos
\omega_0 = \frac{1}{1\\ \mathrm{s}} = 1\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Usar o valor de \omega_0 e o deslocamento máximo para achar v_0.
  • Em t=1\\ \mathrm{s}, a posição vale
x(1) = v_0\cdot 1\cdot e^{-\omega_0\cdot 1} = v_0 e^{-1}.
  • Foi dado que x(1)=7{,}4\\ \mathrm{cm} e que e^{-1}=0{,}37. Assim
v_0 = \frac{x(1)}{e^{-1}} = \frac{7{,}4}{0{,}37}.
  • Calculando a divisão: \dfrac{7{,}4}{0{,}37} = \dfrac{740}{37} = 20. Portanto
v_0 = 20\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

Calcular a posição no instante t=2\\ \mathrm{s}.
  • Usando \omega_0=1\\ \mathrm{s^{-1}} e v_0=20\\ \mathrm{cm/s},
x(2) = v_0\cdot 2\cdot e^{-\omega_0\cdot 2} = 20\cdot 2 \cdot e^{-2} = 40\,e^{-2}.
  • Com e^{-2}=0{,}14 (fornecido),
x(2) = 40 \times 0{,}14 = 5{,}6\\ \mathrm{cm}.

Resposta

v_0 = 20\\ \mathrm{cm/s}
x(2\\ \mathrm{s}) = 5{,}6\\ \mathrm{cm}

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