Q3 - Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial
. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a
, após 1 s . Considere
. A velocidade inicial,
e posição no instante
são respectivamente:
□ (a)
e 2.8 cm
□ (b)
e 1.4 cm
□ (c)
e 5.6 cm
□ (d)
e 5.6 cm
□ (e) NDA
□ (a)
□ (b)
□ (c)
□ (d)
□ (e) NDA
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Foi dado um oscilador criticamente amortecido que parte da posição de equilíbrio, ou seja
. - Recebe um impulso que lhe dá velocidade inicial
(isto é, ). - Verifica-se que ele passa pelo deslocamento máximo igual a
ao tempo . - Também são fornecidos os valores aproximados:
.
O enunciado pede: - Determinar a velocidade inicial
e a posição .
Passo 2
Qual é a forma da solução para amortecimento crítico e o que significam os parâmetros?
- Para um oscilador linear criticamente amortecido a solução geral da equação homogênea é da forma
onde:
-
e são constantes determinadas pelas condições iniciais; -
é a frequência natural do sistema (em ), que aparece nos coeficientes da equação diferencial; - a presença do fator
representa o decaimento exponencial devido ao amortecimento.
Esta forma resulta do fato de que a equação característica tem uma raiz dupla quando o amortecimento é crítico, daí o termo.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais para simplificar a solução.
- Como
, substituindo em dá
- Portanto a solução reduz-se a
- Vamos relacionar
com a velocidade inicial. A velocidade é a derivada:
Fazendo a derivada (produto de
por
):
- Em
isso dá . Como , obtemos
Assim podemos escrever a solução usando diretamente
:
Passo 4
Usar a condição de máximo em
para achar
.
- Um máximo (local) de
ocorre quando . Pelo resultado anterior,
- Como
(o impulso foi dado) e para todo , a condição reduz-se a
- Como o máximo ocorre em
, obtemos
Passo 5
Usar o valor de
e o deslocamento máximo para achar
.
- Em
, a posição vale
- Foi dado que
e que . Assim
- Calculando a divisão:
. Portanto
Passo 6
Calcular a posição no instante
.
- Usando
e ,
- Com
(fornecido),