Q2 - Suponha que vocé esteja examinando as características do sistema de suspensão de um automóvel de massa m. A suspensäo cede uma distância x quando todo o peso do automóvel é colocado sobre ela. Ao empurrar o capô rapidamente para baixo e soltar, percebe-se que a amplitude da oscilação decresce de 50 \% durante um ciclo completo e a frequência angular da oscilação é \omega. A constante elástica k e a constante de amortecimento b para cada uma das molas do sistema absorvedor ć:
(a) k=\frac{m+g}{x}, b=\frac{m \omega}{4 \pi} e^{2}
(b) k=\frac{n g}{4 x}, b=\frac{\omega}{\pi} \ln 2
(c) k=\frac{m g}{x}, b=\frac{m \omega}{\pi} \ln 2
(d) k=\frac{n t g}{4 x}, b=\frac{m \omega}{\pi} e^{2}
(e) k=\frac{m g}{4 x}, b=\frac{m \omega}{\pi} \ln 2

Passo 1

Vou primeiro listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do automóvel: m.
    • Ao colocar todo o peso sobre a suspensão, a suspensão cede uma distância x.
    • Ao empurrar e soltar, a amplitude da oscilação decresce 50\% durante um ciclo completo (ou seja, depois de um período a amplitude fica metade).
    • A frequência angular observada da oscilação (a frequência angular do movimento amortecido) é \omega.
    • O sistema de suspensão tem molas e amortecedores idênticos; o enunciado pede a constante elástica k e a constante de amortecimento b “para cada uma das molas do sistema absorvedor” (ou seja, valores por elemento).
  • O que é pedido:
    • Determinar as expressões de k e b (por elemento) compatíveis com os dados acima.

Passo 2

Entender a estática (constante elástica a partir do deslocamento estático).
Explicação/conceito rápido: quando o carro é colocado sobre as molas em repouso, a força peso total m g é equilibrada pela força elástica total das molas. Se há 4 molas idênticas (hipótese implícita pelo fato de termos “cada uma das molas” e porque automóveis normalmente têm quatro rodas), então a rigidez total que sustenta o carro é a soma das rigidezes das quatro molas.
  • Denotando por k a constante elástica de cada mola, a rigidez total é K_{\text{total}} = 4k.
  • Equilíbrio estático (Lei de Hooke): a força elástica total iguala o peso: K_{\text{total}} \, x = m g.
Agora resolvemos para k:
4k \, x = m g \quad\Rightarrow\quad k = \frac{m g}{4x}.
Interpretação: cada mola, ao ser comprimida x quando o carro todo é apoiado, tem constante k=\dfrac{m g}{4x}.

Passo 3

Modelo de amortecimento e como a amplitude decai.
Explicação/conceito rápido: o movimento vertical do carro pode ser modelado (no modo dominante) por um oscilador linear amortecido com equação
m\ddot{y} + c\,\dot{y} + K_{\text{total}}\,y = 0,
onde c é o coeficiente de amortecimento total do conjunto (somatório dos amortecedores) e K_{\text{total}}=4k é a rigidez total. Se os amortecedores individuais têm constante b (cada um), então
c = 4b.
Para um regime subamortecido (oscilatório) a solução tem uma oscilação modulada por uma envoltória exponencial. A amplitude diminui com o fator exponencial
\text{envelope}(t) \propto e^{-(c/(2m))t}.
A frequência angular observada da oscilação é a frequência amortecida \omega_d; o enunciado chama essa frequência de \omega, então tomamos
\omega_d = \omega.
O período da oscilação observada é
T = \frac{2\pi}{\omega}.

Passo 4

Usar o fato “amplitude decresce 50% em um ciclo” para achar c.
Explicação passo a passo: a razão entre a amplitude após um período T e a amplitude inicial é dada por
\frac{A(T)}{A(0)} = e^{-(c/(2m))T}.
Pelo enunciado, essa razão vale 1/2. Portanto
e^{-(c/(2m))T} = \tfrac{1}{2}.
Tomando o log natural:
-\frac{c}{2m}\,T = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2.
Isolando c:
\frac{c}{2m}\,T = \ln 2 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{2m\ln 2}{T}.
Agora substituir T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
c = \frac{2m\ln 2}{2\pi/\omega} = \frac{2m\ln 2}{2\pi}\,\omega = \frac{m\omega\ln 2}{\pi}.
Interpretação: esse c é o coeficiente de amortecimento total do conjunto de amortecedores (ou seja, soma dos quatro amortecedores).

Passo 5

Converter o coeficiente total c para a constante por amortecedor b.
Como explicado antes, se há 4 amortecedores idênticos em paralelo para suportar a massa, o coeficiente total é
c = 4b.
Logo, o amortecedor por mola tem
b = \frac{c}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{m\omega\ln 2}{\pi} = \frac{m\omega\ln 2}{4\pi}.
Comentário sobre as alternativas: as alternativas fornecidas apresentam várias combinações. Para k por mola encontramos exatamente
k=\frac{m g}{4x},
o que bate com a alternativa (e) no termo k. A alternativa (e) dá para b o valor \dfrac{m\omega\ln 2}{\pi}, que é o coeficiente total c, não o b por mola. Como o enunciado pediu “para cada uma das molas” era natural interpretar b como o coeficiente de amortecimento por mola; nesse caso o valor correto por mola é \dfrac{m\omega\ln 2}{4\pi}. Entretanto, entre as alternativas dadas, a que corresponde ao k correto por mola e que aparece nas opções é a (e), entendendo que nessa alternativa o b está sendo exibido como o coeficiente total do sistema. Diante das opções oferecidas pelo enunciado (que parecem assumir essa convenção), a letra que melhor se alinha com k correto é (e).

Resposta

(e)

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