Q2 - Suponha que vocé esteja examinando as características do sistema de suspensão de um automóvel de massa m. A suspensäo cede uma distância
quando todo o peso do automóvel é colocado sobre ela. Ao empurrar o capô rapidamente para baixo e soltar, percebe-se que a amplitude da oscilação decresce de
durante um ciclo completo e a frequência angular da oscilação é
. A constante elástica
e a constante de amortecimento
para cada uma das molas do sistema absorvedor ć:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou primeiro listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Massa do automóvel:
. - Ao colocar todo o peso sobre a suspensão, a suspensão cede uma distância
. - Ao empurrar e soltar, a amplitude da oscilação decresce
durante um ciclo completo (ou seja, depois de um período a amplitude fica metade). - A frequência angular observada da oscilação (a frequência angular do movimento amortecido) é
. - O sistema de suspensão tem molas e amortecedores idênticos; o enunciado pede a constante elástica
e a constante de amortecimento “para cada uma das molas do sistema absorvedor” (ou seja, valores por elemento).
- Massa do automóvel:
-
O que é pedido:
- Determinar as expressões de
e (por elemento) compatíveis com os dados acima.
- Determinar as expressões de
Passo 2
Entender a estática (constante elástica a partir do deslocamento estático).
Explicação/conceito rápido: quando o carro é colocado sobre as molas em repouso, a força peso total
é equilibrada pela força elástica total das molas. Se há
molas idênticas (hipótese implícita pelo fato de termos “cada uma das molas” e porque automóveis normalmente têm quatro rodas), então a rigidez total que sustenta o carro é a soma das rigidezes das quatro molas.
- Denotando por
a constante elástica de cada mola, a rigidez total é - Equilíbrio estático (Lei de Hooke): a força elástica total iguala o peso:
Agora resolvemos para
:
Interpretação: cada mola, ao ser comprimida
quando o carro todo é apoiado, tem constante
.
Passo 3
Modelo de amortecimento e como a amplitude decai.
Explicação/conceito rápido: o movimento vertical do carro pode ser modelado (no modo dominante) por um oscilador linear amortecido com equação
onde
é o coeficiente de amortecimento total do conjunto (somatório dos amortecedores) e
é a rigidez total. Se os amortecedores individuais têm constante
(cada um), então
Para um regime subamortecido (oscilatório) a solução tem uma oscilação modulada por uma envoltória exponencial. A amplitude diminui com o fator exponencial
A frequência angular observada da oscilação é a frequência amortecida
; o enunciado chama essa frequência de
, então tomamos
O período da oscilação observada é
Passo 4
Usar o fato “amplitude decresce 50% em um ciclo” para achar
.
Explicação passo a passo: a razão entre a amplitude após um período
e a amplitude inicial é dada por
Pelo enunciado, essa razão vale
. Portanto
Tomando o log natural:
Isolando
:
Agora substituir
:
Interpretação: esse
é o coeficiente de amortecimento total do conjunto de amortecedores (ou seja, soma dos quatro amortecedores).
Passo 5
Converter o coeficiente total
para a constante por amortecedor
.
Como explicado antes, se há 4 amortecedores idênticos em paralelo para suportar a massa, o coeficiente total é
Logo, o amortecedor por mola tem
Comentário sobre as alternativas: as alternativas fornecidas apresentam várias combinações. Para
por mola encontramos exatamente
o que bate com a alternativa (e) no termo
. A alternativa (e) dá para
o valor
, que é o coeficiente total
, não o
por mola. Como o enunciado pediu “para cada uma das molas” era natural interpretar
como o coeficiente de amortecimento por mola; nesse caso o valor correto por mola é
. Entretanto, entre as alternativas dadas, a que corresponde ao
correto por mola e que aparece nas opções é a (e), entendendo que nessa alternativa o
está sendo exibido como o coeficiente total do sistema. Diante das opções oferecidas pelo enunciado (que parecem assumir essa convenção), a letra que melhor se alinha com
correto é (e).
Resposta
(e)