Questăo 5- Uma empresa deseja estimar a média de horas de treinamento dos seus funcionários com um erro máximo de 2 horas e um nivel de confiança de
. Sabe-se que o desvio padrão populacional é de 6 horas. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra?
Passo 1
O enunciado pede o tamanho mínimo da amostra para estimar a média de horas de treinamento com as seguintes informações:
- nível de confiança:
; - erro máximo (margem de erro) desejado:
horas; - desvio padrão populacional conhecido:
horas.
A pergunta concreta é: qual o menor valor de
(tamanho da amostra) que garante, com
de confiança, que o erro da estimativa da média não ultrapasse
horas?
Passo 2
Quando o desvio padrão populacional
é conhecido, a fórmula que relaciona a margem de erro
, o nível de confiança e o tamanho da amostra
é
Explicando cada símbolo:
-
é a margem de erro máxima permitida (aqui ); -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (é o valor tal que a área à direita é ); -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ); -
é o tamanho da amostra que queremos determinar.
Essa fórmula vem da distribuição da média amostral: a distribuição da média tem desvio padrão
, e o fator
fixa a probabilidade de que a estimação esteja dentro de
.
Passo 3
Isolando
na fórmula acima obtemos a expressão usada para calcular o tamanho mínimo da amostra:
Aqui vamos calcular
, substituir
e
e avaliar a expressão.
Passo 4
Para nível de confiança
temos
, portanto
. O valor crítico da normal padrão que deixa área
à direita (ou área
à esquerda) é aproximadamente
Esse é um valor tabelado da distribuição normal padrão (é o valor usual usado para
de confiança).
Passo 5
Agora substituímos os valores na fórmula de
:
Primeiro calculamos o numerador:
Primeiro calculamos o numerador:
Em seguida dividimos por
:
Finalmente, elevamos ao quadrado:
Passo 6
O valor de
calculado é
. Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a margem de erro seja no máximo
horas, deve-se arredondar para cima (usar o menor inteiro que é maior ou igual ao valor). Assim: