Questăo 5- Uma empresa deseja estimar a média de horas de treinamento dos seus funcionários com um erro máximo de 2 horas e um nivel de confiança de 95 \%. Sabe-se que o desvio padrão populacional é de 6 horas. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho mínimo da amostra para estimar a média de horas de treinamento com as seguintes informações:
  • nível de confiança: 95\%;
  • erro máximo (margem de erro) desejado: E=2 horas;
  • desvio padrão populacional conhecido: \sigma=6 horas.
A pergunta concreta é: qual o menor valor de n (tamanho da amostra) que garante, com 95\% de confiança, que o erro da estimativa da média não ultrapasse 2 horas?

Passo 2

Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, a fórmula que relaciona a margem de erro E, o nível de confiança e o tamanho da amostra n é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • E é a margem de erro máxima permitida (aqui E=2);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (é o valor tal que a área à direita é \alpha/2);
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=6);
  • n é o tamanho da amostra que queremos determinar.
Essa fórmula vem da distribuição da média amostral: a distribuição da média tem desvio padrão \sigma/\sqrt{n}, e o fator z_{\alpha/2} fixa a probabilidade de que a estimação esteja dentro de E.

Passo 3

Isolando n na fórmula acima obtemos a expressão usada para calcular o tamanho mínimo da amostra:
n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Aqui vamos calcular \,z_{\alpha/2}, substituir \sigma e E e avaliar a expressão.

Passo 4

Para nível de confiança 95\% temos \alpha = 1-0,95 = 0,05, portanto \alpha/2 = 0,025. O valor crítico da normal padrão que deixa área 0,025 à direita (ou área 0,975 à esquerda) é aproximadamente
z_{0,025} \approx 1{,}96.
Esse é um valor tabelado da distribuição normal padrão (é o valor usual usado para 95\% de confiança).

Passo 5

Agora substituímos os valores na fórmula de n:
Primeiro calculamos o numerador:
z_{0,025}\,\sigma = 1{,}96 \times 6 = 11{,}76.
Em seguida dividimos por E:
\dfrac{11{,}76}{2} = 5{,}88.
Finalmente, elevamos ao quadrado:
n = (5{,}88)^2 = 34{,}5744.

Passo 6

O valor de n calculado é 34{,}5744. Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a margem de erro seja no máximo 2 horas, deve-se arredondar para cima (usar o menor inteiro que é maior ou igual ao valor). Assim:
n = 35.

Resposta

n=35

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