Questio 1 (valor 1.4 pts )- O tempo de vida de urna lâmpada possui distribuição normal com média
horas
variância
. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de se encontrar uma lâmpada com menos de 7800 horas?
Qual a probabilidade de se encontrar uma lâmpada com menos de 7800 horas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O tempo de vida da lâmpada é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
horas; e variância . - A pergunta é: qual a probabilidade de encontrar uma lâmpada com menos de
horas? Ou seja, calcular , onde é o tempo de vida da lâmpada.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que significa trabalhar com uma distribuição normal e como transformá-la numa forma padrão que possamos consultar em tabelas ou lembrar valores conhecidos.
- Uma variável aleatória
com distribuição normal é normalmente anotada como , onde é a média (centro) e é o desvio padrão (medida de dispersão). No nosso caso:
e . - O desvio padrão
é a raiz quadrada da variância. Vamos calcular:
Expliquei isso porque muitas vezes o enunciado dá só a variância e a conta da raiz é necessária para seguir.
Passo 3
Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização. A ideia é transformar
numa variável normal padrão
com média
e desvio padrão
, que é a forma para a qual existem tabelas ou valores conhecidos. A fórmula de padronização é:
Aplicando ao ponto
:
Isso significa que
está exatamente a uma unidade de desvio padrão abaixo da média.
Passo 4
Agora traduzimos a probabilidade pedida usando
:
Usamos duas propriedades úteis da normal padrão:
- Simetria:
e , onde é a função de distribuição da normal padrão. - Valor conhecido:
(tabela da normal padrão ou memorizado).
Portanto
Passo 5
Interpretação rápida (útil na prova): estar a uma unidade de desvio padrão abaixo da média corresponde a cerca de
das observações estarem abaixo desse valor. Isso é um número que frequentemente aparece em problemas de normal (média
) — bom ponto para decorar.