Questio 1 (valor 1.4 pts )- O tempo de vida de urna lâmpada possui distribuição normal com média t=8000 horas e variância \sigma^{2}=40000. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de se encontrar uma lâmpada com menos de 7800 horas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O tempo de vida da lâmpada é uma variável aleatória normalmente distribuída com média \,t=8000 horas; e variância \,\sigma^{2}=40000.
  • A pergunta é: qual a probabilidade de encontrar uma lâmpada com menos de 7800 horas? Ou seja, calcular \,P(X<7800), onde X é o tempo de vida da lâmpada.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que significa trabalhar com uma distribuição normal e como transformá-la numa forma padrão que possamos consultar em tabelas ou lembrar valores conhecidos.
  • Uma variável aleatória X com distribuição normal é normalmente anotada como \,X\sim N(\mu,\sigma^{2}), onde \mu é a média (centro) e \sigma é o desvio padrão (medida de dispersão). No nosso caso:
    \mu = 8000 e \sigma^{2}=40000.
  • O desvio padrão \sigma é a raiz quadrada da variância. Vamos calcular:
\sigma = \sqrt{40000}=200.
Expliquei isso porque muitas vezes o enunciado dá só a variância e a conta da raiz é necessária para seguir.

Passo 3

Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização. A ideia é transformar X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio padrão 1, que é a forma para a qual existem tabelas ou valores conhecidos. A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aplicando ao ponto 7800:
z=\frac{7800-8000}{200}=\frac{-200}{200}=-1.
Isso significa que 7800 está exatamente a uma unidade de desvio padrão abaixo da média.

Passo 4

Agora traduzimos a probabilidade pedida usando Z:
P(X<7800)=P\!\left(Z< -1\right).
Usamos duas propriedades úteis da normal padrão:
  • Simetria: P(Z<-a)=1-P(Z<a)=P(Z>a) e P(Z<-a)=1-\Phi(a), onde \Phi(a)=P(Z\le a) é a função de distribuição da normal padrão.
  • Valor conhecido: \Phi(1)\approx 0,8413 (tabela da normal padrão ou memorizado).
Portanto
P(Z<-1)=1-\Phi(1)=1-0,8413=0,1587.

Passo 5

Interpretação rápida (útil na prova): estar a uma unidade de desvio padrão abaixo da média corresponde a cerca de 15{,}87\% das observações estarem abaixo desse valor. Isso é um número que frequentemente aparece em problemas de normal (média \pm 1\sigma) — bom ponto para decorar.

Resposta

0,1587

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