Questão 5:

Encontre a área do paraboloide z=x^{2}+y^{2} limitado superiormente pelo plano z=2
\bigcirc \frac{13}{3 \pi}
\pi
\bigcirc \frac{1}{3 \pi}
\bigcirc \frac{3}{13 \pi}
\bigcirc 13 \pi
\bigcirc 3 \pi

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=x^{2}+y^{2} e pede a área da porção dessa superfície que é limitada superiormente pelo plano z=2. Informações e o que se pede:
  • Equação da superfície (paraboloide): z=x^{2}+y^{2}.
  • Plano que corta a superfície: z=2.
  • A região da superfície que queremos é a parte onde x^{2}+y^{2}\le 2 (pois a interseção satisfaz x^{2}+y^{2}=2). Logo, a projeção dessa porção no plano xy é o disco de raio \sqrt{2}.
  • O objetivo: calcular a área da porção do paraboloide sobre o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma superfície dada como gráfico de uma função z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área da superfície é
\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.
O que isso significa e por quê: f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Num ponto pequeno do domínio, o elemento de área projetado no plano xy é dA e a superfície localmente é bem aproximada por um plano tangente cuja área atual é multiplicada por um fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}. Assim o integrando corrige a área projetada dA para a área real na superfície.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}:
  • Derivada parcial em x: f_x(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
  • Derivada parcial em y: f_y(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
    Substituindo na fórmula do integrando obtemos \sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}.

Passo 4

Descrição do domínio de integração e mudança de coordenadas: a projeção D é o disco x^{2}+y^{2}\le 2, que é mais simples de integrar em coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2}, então o integrando depende só de r.

Passo 5

Escrevendo a integral em polares: o raio varia de 0 até \sqrt{2} e \theta varia de 0 até 2\pi. O integrando fica \sqrt{1+4r^{2}} e multiplicamos por r vindo do jacobiano. Assim a área é
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Cálculo da integral em r usando substituição: faça a substituição
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{8}.
Quando r=0 temos u=1. Quando r=\sqrt{2} temos u=1+4(\sqrt{2})^{2}=1+8=9.
Portanto a integral dupla separa-se como \displaystyle\int_{0}^{2\pi} d\theta vezes a integral em r, e ficamos com
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{1}^{9} \sqrt{u}\,\frac{du}{8}\right) =2\pi\cdot\frac{1}{8}\int_{1}^{9} u^{1/2}\,du.

Passo 7

Integração final e simplificação: calcule a primitiva
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Aplicando os limites 1 a 9 e multiplicando pelos fatores externos:
2\pi\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl(9^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Agora simplificamos passo a passo:
  • 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27.
  • O fator numérico é 2\pi\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}=\pi\cdot\frac{1}{6}=\frac{\pi}{6}.
    Assim obtemos
\frac{\pi}{6}\,(27-1)=\frac{\pi}{6}\cdot 26=\frac{26\pi}{6}=\frac{13\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{3}\pi

Exercícios relacionados