Questão 5:
Encontre a área do paraboloide
limitado superiormente pelo plano
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede a área da porção dessa superfície que é limitada superiormente pelo plano
. Informações e o que se pede:
- Equação da superfície (paraboloide):
. - Plano que corta a superfície:
. - A região da superfície que queremos é a parte onde
(pois a interseção satisfaz ). Logo, a projeção dessa porção no plano é o disco de raio . - O objetivo: calcular a área da porção do paraboloide sobre o disco
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma superfície dada como gráfico de uma função
sobre uma região
no plano
, a área da superfície é
O que isso significa e por quê:
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Num ponto pequeno do domínio, o elemento de área projetado no plano
é
e a superfície localmente é bem aproximada por um plano tangente cuja área atual é multiplicada por um fator
. Assim o integrando corrige a área projetada
para a área real na superfície.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em
: . - Derivada parcial em
: .
Substituindo na fórmula do integrando obtemos.
Passo 4
Descrição do domínio de integração e mudança de coordenadas: a projeção
é o disco
, que é mais simples de integrar em coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos
Além disso
, então o integrando depende só de
.
Passo 5
Escrevendo a integral em polares: o raio varia de
até
e
varia de
até
. O integrando fica
e multiplicamos por
vindo do jacobiano. Assim a área é
Passo 6
Cálculo da integral em
usando substituição: faça a substituição
Quando
temos
. Quando
temos
.
Portanto a integral dupla separa-se como vezes a integral em
, e ficamos com
Portanto a integral dupla separa-se como
Passo 7
Integração final e simplificação: calcule a primitiva
Aplicando os limites
a
e multiplicando pelos fatores externos:
Agora simplificamos passo a passo:
-
. - O fator numérico é
.
Assim obtemos