Prove que se
, então o raio de convergência da série de potências
será
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para provar que o raio de convergência da série de potências
é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
temos a sequência de coeficientes
com a propriedade acima;
o valor limite
é não nulo.
O que se quer: determinar o valor do raio de convergência da série de potências dada.
O que se quer: determinar o valor do raio de convergência
Passo 2
Vou lembrar o que significa “raio de convergência” de forma clara e simples.
Definição (intuição e formal): o raio de convergência
é o número não negativo tal que a série
converge para todo
com
e diverge para todo
com
. Em símbolos,
Para séries de potências é muito útil o teste da raiz (root test), que permite relacionar
com as raízes
-ésimas dos coeficientes.
Passo 3
Vou explicar o teste da raiz de forma didática, que é a ferramenta principal aqui.
Teste da raiz (enunciado): seja
uma série de termos complexos (ou reais). Se existir
então
- se
a série converge absolutamente; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Intuição por trás: a
-ésima raiz do módulo do termo dá a “taxa de crescimento” dos termos; se essa taxa é menor que
a sequência dos termos vai rapidamente a
suficiente para garantir soma finita, se maior que
os termos nem sequer vão a
.
Passo 4
Agora aplico o teste da raiz à série de potências. Tomo
(o
-ésimo termo da série). Calculo a
-ésima raiz do módulo de
:
Pelo dado do enunciado sabemos que
Portanto
Agora aplico o teste da raiz: a série
converge absolutamente se
e diverge se
. Isso equivale a:
- converge para todo
com ; - diverge para todo
com .
Essas duas propriedades definem exatamente o raio de convergência, então concluímos que
Passo 5
Observações finais e casos-limite (para sua intuição, embora o enunciado já tenha dito
):
- No caso
o resultado do teste da raiz dá limite igual a , então o teste é inconclusivo: a série pode convergir ou divergir na fronteira dependendo dos (ex.: comparer e ). Mas isso não altera o valor do raio . - Se
(caso excluído pelo enunciado) então por uma razão análoga obteríamos . Se obteríamos .