Prove que se \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left|u_{n}\right|}=L(L \neq 0), então o raio de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n} x^{n} será \frac{1}{L}.

Passo 1

O enunciado dá a informação
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=L\quad(L\neq 0)
e pede para provar que o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty} u_n x^n
é \dfrac{1}{L}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;1.\; temos a sequência de coeficientes \{u_n\} com a propriedade acima;
\;2.\; o valor limite L é não nulo.
O que se quer: determinar o valor do raio de convergência R da série de potências dada.

Passo 2

Vou lembrar o que significa “raio de convergência” de forma clara e simples.
Definição (intuição e formal): o raio de convergência R é o número não negativo tal que a série \sum_{n=1}^{\infty} u_n x^n converge para todo x com |x|<R e diverge para todo x com |x|>R. Em símbolos,
R=\sup\{r\ge 0:\text{a série converge para todo }|x|<r\}.é
Para séries de potências é muito útil o teste da raiz (root test), que permite relacionar R com as raízes n-ésimas dos coeficientes.

Passo 3

Vou explicar o teste da raiz de forma didática, que é a ferramenta principal aqui.
Teste da raiz (enunciado): seja \sum a_n uma série de termos complexos (ou reais). Se existir
\rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
então
  • se \rho<1 a série converge absolutamente;
  • se \rho>1 a série diverge;
  • se \rho=1 o teste é inconclusivo.
Intuição por trás: a n-ésima raiz do módulo do termo dá a “taxa de crescimento” dos termos; se essa taxa é menor que 1 a sequência dos termos vai rapidamente a 0 suficiente para garantir soma finita, se maior que 1 os termos nem sequer vão a 0.

Passo 4

Agora aplico o teste da raiz à série de potências. Tomo a_n = u_n x^n (o n-ésimo termo da série). Calculo a n-ésima raiz do módulo de a_n:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{|u_n x^n|}=\sqrt[n]{|u_n|}\,\sqrt[n]{|x^n|}=\sqrt[n]{|u_n|}\,|x|.
Pelo dado do enunciado sabemos que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}=L.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L\,|x|.
Agora aplico o teste da raiz: a série \sum u_n x^n converge absolutamente se L\,|x|<1 e diverge se L\,|x|>1. Isso equivale a:
  • converge para todo x com |x|<\dfrac{1}{L};
  • diverge para todo x com |x|>\dfrac{1}{L}.
Essas duas propriedades definem exatamente o raio de convergência, então concluímos que
R=\frac{1}{L}.

Passo 5

Observações finais e casos-limite (para sua intuição, embora o enunciado já tenha dito L\neq 0):
  • No caso |x|=\dfrac{1}{L} o resultado do teste da raiz dá limite igual a 1, então o teste é inconclusivo: a série pode convergir ou divergir na fronteira dependendo dos u_n (ex.: comparer \sum \frac{x^n}{n} e \sum x^n). Mas isso não altera o valor do raio R.
  • Se L=0 (caso excluído pelo enunciado) então por uma razão análoga obteríamos R=+\infty. Se L=+\infty obteríamos R=0.

Resposta

\dfrac{1}{L}

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