Seja
a porção do paraboloide
, acima do quadrado
.
Calcular a integral de superfície
Calcular a integral de superfície
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a porção do paraboloide dada por
acima do quadrado do plano
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é a parte do paraboloide sobre o quadrado
. - O integrando é a função
(avaliada sobre a superfície). - O domínio projetado no plano
é o quadrado unitário com vértices em .
Passo 2
Método: representar a superfície como gráfico de uma função
e usar a fórmula para integral de superfície de um gráfico.
Teoria / fórmulas usadas (explicação didática):
- Se a superfície
é o gráfico sobre um domínio no plano , então a área infinitesimal da superfície é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
- Assim, para uma função
integrada sobre temos
O que isso significa na prática: vamos escrever
em função de
, calcular
, formar o fator
e integrar no domínio
.
Passo 3
Aplicando ao nosso paraboloide:
- Escrevemos
. - Calculamos as derivadas parciais:
- Logo
Passo 4
Transformamos a integral de superfície em integral dupla sobre
:
com
.
Escrevendo como integral iterada (escolhi integrar primeiro em ):
Escrevendo como integral iterada (escolhi integrar primeiro em
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Para
fixo, faça a substituição
Quando
temos
. Quando
temos
.
Portanto
Portanto
Como havia um fator
multiplicando inicialmente, a integral interna completa é
Passo 6
Agora integramos em
:
Coloco o fator constante fora:
Para integrar termos do tipo
use a substituição
, então
e
. Assim
Passo 7
Aplicando a fórmula com
e
e reunindo:
Simplificando o fator
e organizando termos:
Passo 8
Escrever potências em radicais para deixar em forma mais familiar:
Substituindo: