Seja S a porção do paraboloide 2 z=x^{2}+y^{2}, acima do quadrado
D_{x y}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1.
Calcular a integral de superfície \iint_{S} x y d S
\bigcirc \frac{1}{11}+9 \sqrt{2}-1
\bigcirc 111+92
\bigcirc 115+2
\bigcirc \frac{1}{15}(9 \sqrt{3}+2)
\bigcirc \frac{1}{15}(9 \sqrt{3}-8 \sqrt{2}+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x y\, dS
onde S é a porção do paraboloide dada por
2z = x^{2}+y^{2}
acima do quadrado do plano xy
D_{xy}:\; 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é a parte do paraboloide sobre o quadrado D_{xy}.
  • O integrando é a função x y (avaliada sobre a superfície).
  • O domínio projetado no plano xy é o quadrado unitário com vértices em (0,0),(1,0),(0,1),(1,1).

Passo 2

Método: representar a superfície como gráfico de uma função z=f(x,y) e usar a fórmula para integral de superfície de um gráfico.
Teoria / fórmulas usadas (explicação didática):
  • Se a superfície S é o gráfico z=f(x,y) sobre um domínio D no plano xy, então a área infinitesimal da superfície é
dS=\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dx\,dy,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y.
  • Assim, para uma função g(x,y,z) integrada sobre S temos
\iint_{S} g(x,y,z)\,dS=\iint_{D} g\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dx\,dy.
O que isso significa na prática: vamos escrever z em função de x,y, calcular f_x,f_y, formar o fator \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}} e integrar no domínio D.

Passo 3

Aplicando ao nosso paraboloide:
  • Escrevemos z=f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}.
  • Calculamos as derivadas parciais:
f_x = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)=x, \qquad f_y = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)=y.
  • Logo
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Transformamos a integral de superfície em integral dupla sobre D_{xy}:
\iint_{S} x y\, dS = \iint_{D} x y\,\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy,
com D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
Escrevendo como integral iterada (escolhi integrar primeiro em x):
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} x y\,\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy.

Passo 5

Calcular a integral interna em x. Para y fixo, faça a substituição
t=1+x^{2}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad dt=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{dt}{2}.
Quando x=0 temos t=1+y^{2}. Quando x=1 temos t=2+y^{2}.
Portanto
\int_{0}^{1} x\,\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\;dx = \int_{t=1+y^{2}}^{2+y^{2}} \frac{1}{2}\sqrt{t}\;dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[t^{3/2}\right]_{1+y^{2}}^{2+y^{2}} = \frac{1}{3}\left[(2+y^{2})^{3/2}-(1+y^{2})^{3/2}\right].
Como havia um fator y multiplicando inicialmente, a integral interna completa é
\int_{0}^{1} x y\,\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\;dx = \frac{y}{3}\left[(2+y^{2})^{3/2}-(1+y^{2})^{3/2}\right].

Passo 6

Agora integramos em y:
\iint_{D} x y\,\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy = \int_{0}^{1} \frac{y}{3}\left[(2+y^{2})^{3/2}-(1+y^{2})^{3/2}\right] dy.
Coloco o fator constante fora:
= \frac{1}{3}\left(\int_{0}^{1} y(2+y^{2})^{3/2}dy - \int_{0}^{1} y(1+y^{2})^{3/2}dy\right).
Para integrar termos do tipo \int y(a+y^{2})^{3/2}dy use a substituição u=a+y^{2}, então du=2y\,dy e y\,dy=\dfrac{du}{2}. Assim
\int_{0}^{1} y(a+y^{2})^{3/2}dy = \frac{1}{2}\int_{u=a}^{a+1} u^{3/2}du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\left[u^{5/2}\right]_{a}^{a+1} = \frac{1}{5}\left[(a+1)^{5/2}-a^{5/2}\right].

Passo 7

Aplicando a fórmula com a=2 e a=1 e reunindo:
\iint_{S} x y\, dS = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\Bigl(\bigl[(2+1)^{5/2}-2^{5/2}\bigr]-\bigl[(1+1)^{5/2}-1^{5/2}\bigr]\Bigr).
Simplificando o fator \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15} e organizando termos:
= \frac{1}{15}\left(3^{5/2}-2\cdot 2^{5/2}+1^{5/2}\right).

Passo 8

Escrever potências em radicais para deixar em forma mais familiar:
3^{5/2}=9\sqrt{3},\qquad 2^{5/2}=4\sqrt{2},\qquad 1^{5/2}=1.
Substituindo:
\iint_{S} x y\, dS = \frac{1}{15}\bigl(9\sqrt{3}-2\cdot 4\sqrt{2}+1\bigr) = \frac{1}{15}\bigl(9\sqrt{3}-8\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{15}\bigl(9\sqrt{3}-8\sqrt{2}+1\bigr)

Exercícios relacionados