e pede para encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz.\n
Informações relevantes: a matriz é diagonal (os elementos não nulos estão apenas na diagonal) e é 3×3.\n
O que precisamos devolver: os valores de \lambda que satisfazem \det(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{I})=0 (autovalores) e, para cada autovalor \lambda, os vetores não nulos v que satisfazem (\mathbf{T}-\lambda\mathbf{I})v=0 (autovetores).]
Passo 2
Definição do problema e método a usar (passo teórico rápido, bem mastigado).\n
Um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem a equação
(\mathbf{T}-\lambda\mathbf{I})v=0.
Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico
p(\lambda)=\det(\mathbf{T}-\lambda\mathbf{I}).
Explicando isso: \mathbf{I} é a matriz identidade 3\times3. Subtraindo \lambda\mathbf{I} de \mathbf{T} obtemos uma matriz cujo determinante como função de \lambda é um polinômio; as raízes desse polinômio são os autovalores. Depois, para cada raiz \lambda, resolvemos o sistema linear homogêneo (\mathbf{T}-\lambda\mathbf{I})v=0 para obter todos os autovetores associados.
Passo 3
Calcular \mathbf{T}-\lambda\mathbf{I}. Subtraindo \lambda da diagonal:
Encontrar as raízes do polinômio característico (os autovalores).\n
As raízes são \lambda=2 (com multiplicidade algébrica 2) e \lambda=3 (com multiplicidade algébrica 1).\n
Explicando: multiplicidade algébrica é o número de vezes que a raiz aparece no polinômio; aqui (2-\lambda) aparece ao quadrado.
Passo 5
Encontrar os autovetores associados a \lambda=2.\n
Escrevemos (\mathbf{T}-2\mathbf{I}) e resolvemos (\mathbf{T}-2\mathbf{I})v=0:
com v_1 e v_2 não simultaneamente zero, são autovetores associados a \lambda=2.\n
Interpretação prática para a prova: a subespaço próprio (espaço gerado pelos autovetores) associado a \lambda=2 é o plano dos vetores com terceira componente zero. Uma base simples desse espaço é formada pelos vetores
Aqui a multiplicidade geométrica para \lambda=3 é 1.]
Passo 7
Comentários finais didáticos e observações úteis para a prova.\n
Como \mathbf{T} é diagonal, fica muito simples: os autovalores são os elementos da diagonal e cada autovetor canônico tem componentes zero exceto possivelmente na posição correspondente ao autovalor. Esse é um truque rápido para decorar: para matriz diagonal \operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3) os autovalores são d_1,d_2,d_3.\n
Aqui \lambda=2 é degenerado (repetido), e o espaço próprio tem dimensão 2, ou seja, há dois autovetores linearmente independentes para \lambda=2. Isso significa que a matriz é diagonalizável (tem 3 autovetores independentes no total).\n
Se você quiser autovetores normalizados (comprimento 1), basta dividir por sua norma: por exemplo (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) já estão normalizados.
Resposta
\lambda=2 (multiplicidade algébrica 2); autovetores: todos os vetores da forma \begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\\[4pt]0\end{pmatrix}, por exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.\n
\lambda=3 (multiplicidade algébrica 1); autovetores: todos os vetores da forma \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]v_3\end{pmatrix}, por exemplo \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]