Questão 5: Encontre os autovalores e autovetores de um tensor cujas componentes são:
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos claros: encontrar os autovalores e os autovetores do tensor (matriz) dado. As informações fornecidas são a matriz \mathbf{T}:
\mathbf{T}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Nada mais foi dado; vamos usar apenas essa matriz para obter os autovalores e autovetores.]

Passo 2

Primeiro preciso explicar o que é autovalor (eigenvalor) e autovetor (eigenvetor). Dizemos que um vetor não nulo v é autovetor de \mathbf{T} associado ao autovalor \lambda se
\mathbf{T}v=\lambda v.
Aqui v é um vetor coluna qualquer v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} com pelo menos uma coordenada diferente de zero, e \lambda é um número real (no caso real) que escala o vetor v. Para encontrar \lambda usamos o polinômio característico, que vem da condição
\det(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{I})=0,
onde \mathbf{I} é a matriz identidade 3\times3. Vou explicar cada passo dessa fórmula à medida que aplico.]

Passo 3

Calculo a matriz \mathbf{T}-\lambda\mathbf{I}. Subtraindo \lambda da diagonal de \mathbf{T} obtemos
\mathbf{T}-\lambda\mathbf{I}= \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2-\lambda & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Observação didática: uma matriz assim é diagonal — os elementos fora da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante e simples é que o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal.]

Passo 4

Usando a propriedade acima, o determinante é
\det(\mathbf{T}-\lambda\mathbf{I})=(2-\lambda)\,(2-\lambda)\,(2-\lambda)=(2-\lambda)^3.
A equação característica é (2-\lambda)^3=0. Resolvendo, obtemos o(s) autovalor(es):
2-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=2.
Portanto \lambda=2 é a única raiz do polinômio, com multiplicidade algébrica igual a 3 (porque o fator aparece ao cubo).

Passo 5

Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=2. Devemos resolver
(\mathbf{T}-2\mathbf{I})v=0.
Calculando a matriz:
\mathbf{T}-2\mathbf{I}= \begin{pmatrix} 2-2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2-2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Essa é a matriz nula. A equação \mathbf{0}\,v=\mathbf{0} é satisfeita por qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3. Em outras palavras, o espaço próprio (autoespaço) associado a \lambda=2 é todo \mathbb{R}^3.]

Passo 6

Interpretação e exemplos práticos: como qualquer vetor não nulo v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} (com x,y,z não todos zero) satisfaz \mathbf{T}v=2v, qualquer vetor não nulo é um autovetor. Por exemplo,
\mathbf{T}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},
\mathbf{T}\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},
\mathbf{T}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Esses exemplos ilustram que qualquer vetor é autovetor. Observação final: matrizes que são múltiplos escalares da identidade, a\mathbf{I}, têm sempre autovalor a com multiplicidade n em dimensão n, e todo vetor não nulo é autovetor — é um caso muito simples e conveniente.]

Resposta

Autovalores: \lambda=2 (multiplicidade algébrica 3).\n
Autovetores: todos os vetores não nulos v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} com (x,y,z)\neq(0,0,0); por exemplo \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

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