Questão 4: Dado o tensor \boldsymbol{T} com matriz
\boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right]
(a) encontre a parte simétrica e a parte antissimétrica de \boldsymbol{T};
(b) encontre o vetor dual (ou vetor axial) da parte antissimétrica de \boldsymbol{T}.

Passo 1

O enunciado dá o tensor \boldsymbol{T} com matriz
\boldsymbol{T}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) encontrar a parte simétrica e a parte antissimétrica de \boldsymbol{T};
(b) encontrar o vetor dual (vetor axial) da parte antissimétrica obtida no item (a).
As informações relevantes fornecidas são apenas a matriz acima e essas duas perguntas.

Passo 2

Primeiro conceito importante (fórmula que usamos): qualquer matriz quadrada \boldsymbol{T} pode ser decomposta unicamente em uma parte simétrica \boldsymbol{S} e uma parte antissimétrica \boldsymbol{A} por
\boldsymbol{S}=\frac{\boldsymbol{T}+\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}}{2},\qquad \boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{T}-\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}}{2}.
Explicando: \boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} é a transposta de \boldsymbol{T}. A parte simétrica satisfaz \boldsymbol{S}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{S} e a parte antissimétrica satisfaz \boldsymbol{A}^{\mathrm{T} }=-\boldsymbol{A}. Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a transposta \boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} trocando linhas por colunas:
\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\\\ 2 & 5 & 8 \\\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular a soma \boldsymbol{T}+\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} componente a componente:
\boldsymbol{T}+\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 1+1 & 2+4 & 3+7 \\\\ 4+2 & 5+5 & 6+8 \\\\ 7+3 & 8+6 & 9+9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 6 & 10 \\\\ 6 & 10 & 14 \\\\ 10 & 14 & 18 \end{pmatrix}.
Agora dividimos por 2 para obter \boldsymbol{S}:
\boldsymbol{S}=\frac{\boldsymbol{T}+\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}}{2}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\\\ 3 & 5 & 7 \\\\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 5

Verificação rápida (para você confiar no resultado): \boldsymbol{S}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{S} porque claramente a matriz obtida é simétrica (elementos (1,2) e (2,1) iguais, etc.). Então a parte simétrica está correta.

Passo 6

Agora calculamos a diferença \boldsymbol{T}-\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} componente a componente:
\boldsymbol{T}-\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 1-1 & 2-4 & 3-7 \\\\ 4-2 & 5-5 & 6-8 \\\\ 7-3 & 8-6 & 9-9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\\\ 2 & 0 & -2 \\\\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Dividindo por 2 obtemos a parte antissimétrica \boldsymbol{A}:
\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{T}-\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}}{2}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 7

Verificação rápida da antissimetria: \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}=-\boldsymbol{A}. Está correto.

Passo 8

Agora explico o que é o vetor dual (vetor axial) de uma matriz antissimétrica 3\times3. Para uma matriz antissimétrica \boldsymbol{A} em 3D, existe um vetor \boldsymbol{w} tal que os componentes de \boldsymbol{w} são dados por
w_i=\frac{1}{2}\,\varepsilon_{ijk}\,A_{jk},
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (ou seja, \varepsilon_{123}=+1, permutações cíclicas também +1, permutações que trocam dois índices são -1, e qualquer repetição dá 0). Na prática isso significa somar sobre j e k (convenção de soma) e só aparecem poucos termos não nulos por causa das propriedades de \varepsilon_{ijk}.

Passo 9

Calculemos w_1. Usando a fórmula e lembrando que só os pares (j,k)=(2,3) e (3,2) contribuem:
w_1=\frac{1}{2}\big(\varepsilon_{123}A_{23}+\varepsilon_{132}A_{32}\big) =\frac{1}{2}\big(1\cdot A_{23}+(-1)\cdot A_{32}\big) =\frac{1}{2}\big(A_{23}-A_{32}\big).
Substituindo de \boldsymbol{A}: A_{23}=-1 e A_{32}=1. Então
w_1=\frac{1}{2}\big(-1-1\big)=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 10

Calculemos w_2. Os pares relevantes são (j,k)=(3,1) e (1,3):
w_2=\frac{1}{2}\big(\varepsilon_{231}A_{31}+\varepsilon_{213}A_{13}\big) =\frac{1}{2}\big(1\cdot A_{31}+(-1)\cdot A_{13}\big) =\frac{1}{2}\big(A_{31}-A_{13}\big).
Substituindo A_{31}=2 e A_{13}=-2:
w_2=\frac{1}{2}\big(2-(-2)\big)=\frac{1}{2}\cdot 4=2.

Passo 11

Calculemos w_3. Os pares relevantes são (j,k)=(1,2) e (2,1):
w_3=\frac{1}{2}\big(\varepsilon_{312}A_{12}+\varepsilon_{321}A_{21}\big) =\frac{1}{2}\big(1\cdot A_{12}+(-1)\cdot A_{21}\big) =\frac{1}{2}\big(A_{12}-A_{21}\big).
Substituindo A_{12}=-1 e A_{21}=1:
w_3=\frac{1}{2}\big(-1-1\big)=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 12

Portanto o vetor dual (axial) da parte antissimétrica é
\boldsymbol{w}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \displaystyle \boldsymbol{S}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5 \\[4pt] 3 & 5 & 7 \\[4pt] 5 & 7 & 9\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0 & -1 & -2 \\[4pt] 1 & 0 & -1 \\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \boldsymbol{w}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}]

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