(a) encontre a parte simétrica e a parte antissimétrica de \boldsymbol{T};
(b) encontre o vetor dual (ou vetor axial) da parte antissimétrica de \boldsymbol{T}.
e pede duas coisas:
(a) encontrar a parte simétrica e a parte antissimétrica de \boldsymbol{T};
(b) encontrar o vetor dual (vetor axial) da parte antissimétrica obtida no item (a).
As informações relevantes fornecidas são apenas a matriz acima e essas duas perguntas.
Passo 2
Primeiro conceito importante (fórmula que usamos): qualquer matriz quadrada \boldsymbol{T} pode ser decomposta unicamente em uma parte simétrica \boldsymbol{S} e uma parte antissimétrica \boldsymbol{A} por
Explicando: \boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} é a transposta de \boldsymbol{T}. A parte simétrica satisfaz \boldsymbol{S}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{S} e a parte antissimétrica satisfaz \boldsymbol{A}^{\mathrm{T} }=-\boldsymbol{A}. Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular a transposta \boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} trocando linhas por colunas:
Verificação rápida (para você confiar no resultado): \boldsymbol{S}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{S} porque claramente a matriz obtida é simétrica (elementos (1,2) e (2,1) iguais, etc.). Então a parte simétrica está correta.
Passo 6
Agora calculamos a diferença \boldsymbol{T}-\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} componente a componente:
Agora explico o que é o vetor dual (vetor axial) de uma matriz antissimétrica 3\times3. Para uma matriz antissimétrica \boldsymbol{A} em 3D, existe um vetor \boldsymbol{w} tal que os componentes de \boldsymbol{w} são dados por
w_i=\frac{1}{2}\,\varepsilon_{ijk}\,A_{jk},
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (ou seja, \varepsilon_{123}=+1, permutações cíclicas também +1, permutações que trocam dois índices são -1, e qualquer repetição dá 0). Na prática isso significa somar sobre j e k (convenção de soma) e só aparecem poucos termos não nulos por causa das propriedades de \varepsilon_{ijk}.
Passo 9
Calculemos w_1. Usando a fórmula e lembrando que só os pares (j,k)=(2,3) e (3,2) contribuem: