Questão 9: Encontre uma base de V com as condições impostas:
Base de \mathbb{R}^{3} contida em \{(1,2,1),(2,0,2),(2,2,0),(0,2,2)\}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base de \mathbb{R}^{3} que esteja contida no conjunto dado. O conjunto fornecido é
\{(1,2,1),(2,0,2),(2,2,0),(0,2,2)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Precisa-se escolher vetores desse conjunto que formem uma base de \mathbb{R}^{3}.
Em \mathbb{R}^{3} uma base tem exatamente 3 vetores que são linearmente independentes (e então geram todo \mathbb{R}^{3}).
Logo, precisamos encontrar três vetores do conjunto que sejam linearmente independentes.
Passo 2
Estratégia prática (sem resolver ainda): testar se três vetores escolhidos são linearmente independentes. Para isso é simples montar a matriz cujas colunas são esses três vetores e verificar se sua posto é 3 (por eliminação de Gauss, por exemplo). Vou testar primeiro os três primeiros vetores
A matriz obtida é triangular superior com entradas da diagonal iguais a 1, -4 e -2, todas diferentes de zero. Isso mostra que as três linhas (e portanto as três colunas) são linearmente independentes, ou seja, o posto de A é 3. Equivalentemente, a única solução de
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
é c_1=c_2=c_3=0.
Passo 6
Conclusão a partir do passo anterior: os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^{3}, necessariamente formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Logo podemos escolher