Questão 9: Encontre uma base de V com as condições impostas:
Base de \mathbb{R}^{3} contida em \{(1,2,1),(2,0,2),(2,2,0),(0,2,2)\}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base de \mathbb{R}^{3} que esteja contida no conjunto dado. O conjunto fornecido é
\{(1,2,1),(2,0,2),(2,2,0),(0,2,2)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Precisa-se escolher vetores desse conjunto que formem uma base de \mathbb{R}^{3}.
  • Em \mathbb{R}^{3} uma base tem exatamente 3 vetores que são linearmente independentes (e então geram todo \mathbb{R}^{3}).
  • Logo, precisamos encontrar três vetores do conjunto que sejam linearmente independentes.

Passo 2

Estratégia prática (sem resolver ainda): testar se três vetores escolhidos são linearmente independentes. Para isso é simples montar a matriz cujas colunas são esses três vetores e verificar se sua posto é 3 (por eliminação de Gauss, por exemplo). Vou testar primeiro os três primeiros vetores
v_1=(1,2,1),\qquad v_2=(2,0,2),\qquad v_3=(2,2,0).

Passo 3

Formo a matriz A de 3\times3 cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
A pergunta de interesse é: a equação homogênea
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
tem só a solução trivial c_1=c_2=c_3=0? Isso equivale a verificar se a matriz A tem posto 3.]

Passo 4

Faço eliminação de Gauss em A. Começo usando R_1 (linha 1) para zerar abaixo:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando:
R_2 = (2,0,2) - 2\cdot(1,2,2) = (2-2,\,0-4,\,2-4) = (0,-4,-2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Calculando:
R_3 = (1,2,0) - (1,2,2) = (0,0,-2).
Após essas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -4 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A matriz obtida é triangular superior com entradas da diagonal iguais a 1, -4 e -2, todas diferentes de zero. Isso mostra que as três linhas (e portanto as três colunas) são linearmente independentes, ou seja, o posto de A é 3. Equivalentemente, a única solução de
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
é c_1=c_2=c_3=0.

Passo 6

Conclusão a partir do passo anterior: os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^{3}, necessariamente formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Logo podemos escolher
\{(1,2,1),(2,0,2),(2,2,0)\}
como base contida no conjunto dado.

Resposta

\{(1,2,1),(2,0,2),(2,2,0)\}

Exercícios relacionados