Questão 5: Sejam \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(2,0),(0,2)\} :
a) Ache as matrizes mudança de base [M]_{\beta}^{\alpha},[M]_{\gamma}^{\beta} \mathrm{e}[M]_{\alpha}^{\gamma}.
b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada uma das três bases?
c) As coordenadas de um vetor v em relação a base \beta são dadas por [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 0\end{array}\right]. Quais as coordenadas deste vetor em relação as outras bases?
Passo 1
O enunciado nos dá três bases de \mathbb{R}^2 e pede várias coisas:
Bases dadas (escrevo as vetores explicitamente, peguei do enunciado):
\alpha=\{(1,0),(0,1)\}.
\beta=\{(-1,1),(1,1)\}.
\gamma=\{(2,0),(0,2)\}.
Perguntas:
(a) Ache as matrizes de mudança de base [M]_{\beta}^{\alpha}, [M]_{\gamma}^{\beta} e [M]_{\alpha}^{\gamma}.
(b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada uma das três bases \alpha,\beta,\gamma?(c) Se as coordenadas em \beta são [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix}, quais as coordenadas desse vetor nas outras bases?]
Passo 2
Conceito prático que vamos usar (explicação bem direta).
Uma matriz de mudança de base [M]_{B}^{A} é a matriz que converte coordenadas de um vetor em relação à base B para coordenadas do mesmo vetor em relação à base A. Ou seja, para todo vetor x,[x]_{A} = [M]_{B}^{A}\,[x]_{B}.
Forma prática de construir [M]_{B}^{A}: escreva cada vetor da base B na base A (i.e., escreva os vetores de B como colunas com coordenadas em A); essas colunas formam a matriz [M]_{B}^{A}.
Observação útil para este exercício:
A base \alpha é a base padrão; assim coordenadas em \alpha são simplesmente as próprias coordenadas cartesianas dos vetores.
A base \gamma é \gamma=\{2(1,0),\,2(0,1)\}, ou seja, vetores padrão multiplicados por 2. Isso simplifica conversões envolvendo \gamma.
Passo 3
Calcular [M]_{\beta}^{\alpha}.
Pelo método explicado, as colunas de [M]_{\beta}^{\alpha} são as coordenadas dos vetores da base \beta expressos na base \alpha.
Como \alpha é a base padrão, as coordenadas dos vetores de \beta na base \alpha são os próprios vetores:
Interpretação e verificação rápida de [M]_{\beta}^{\alpha}.
Se [x]_{\beta}=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix}, então[M]_{\beta}^{\alpha}\,[x]_{\beta} =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},que é exatamente a combinação linear na base padrão — corresponde ao vetor em coordenadas \alpha. Isso confirma que a construção está correta.]
Passo 5
Calcular [M]_{\gamma}^{\beta}.
Pela regra: colunas de [M]_{\gamma}^{\beta} são as coordenadas dos vetores de \gamma expressos na base \beta.
Os vetores de \gamma são g_1=(2,0) e g_2=(0,2). Queremos coeficientes (a,b) tais quea(-1,1)+b(1,1)=(2,0)e depois para (0,2).
Resolver para g_1=(2,0):
Sistema: -a+b=2 e a+b=0.
Da segunda equação a=-b. Substituindo na primeira: -(-b)+b=2\Rightarrow 2b=2\Rightarrow b=1\Rightarrow a=-1.
Logo coordenadas de g_1 em \beta são \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Resolver para g_2=(0,2):
Sistema: -a+b=0 e a+b=2.
Da primeira b=a. Substituindo na segunda: a+a=2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1.
Logo coordenadas de g_2 em \beta são \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observação sobre [M]_{\gamma}^{\beta} igual a [M]_{\beta}^{\alpha}.
Nota curiosa: numericamente [M]_{\gamma}^{\beta} saiu igual a [M]_{\beta}^{\alpha}. Isso aconteceu por como as bases estão posicionadas geometricamente neste caso; não é uma coincidência impossível, mas só uma consequência dos vetores dados.
Passo 7
Calcular [M]_{\alpha}^{\gamma}.
Agora as colunas de [M]_{\alpha}^{\gamma} são as coordenadas dos vetores da base \alpha (os vetores padrão e_1=(1,0) e e_2=(0,1)) expressos na base \gamma.
Como \gamma tem vetores g_1=(2,0)=2e_1 e g_2=(0,2)=2e_2, temos: