Questão 5: Sejam \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(2,0),(0,2)\} :
a) Ache as matrizes mudança de base [M]_{\beta}^{\alpha},[M]_{\gamma}^{\beta} \mathrm{e}[M]_{\alpha}^{\gamma}.
b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada uma das três bases?
c) As coordenadas de um vetor v em relação a base \beta são dadas por [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 0\end{array}\right]. Quais as coordenadas deste vetor em relação as outras bases?

Passo 1

O enunciado nos dá três bases de \mathbb{R}^2 e pede várias coisas:
  • Bases dadas (escrevo as vetores explicitamente, peguei do enunciado):
    • \alpha=\{(1,0),(0,1)\}.
    • \beta=\{(-1,1),(1,1)\}.
    • \gamma=\{(2,0),(0,2)\}.
  • Perguntas:
    (a) Ache as matrizes de mudança de base [M]_{\beta}^{\alpha}, [M]_{\gamma}^{\beta} e [M]_{\alpha}^{\gamma}.
    (b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada uma das três bases \alpha,\beta,\gamma?(c) Se as coordenadas em \beta são [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix}, quais as coordenadas desse vetor nas outras bases?]

Passo 2

Conceito prático que vamos usar (explicação bem direta).
  • Uma matriz de mudança de base [M]_{B}^{A} é a matriz que converte coordenadas de um vetor em relação à base B para coordenadas do mesmo vetor em relação à base A. Ou seja, para todo vetor x, [x]_{A} = [M]_{B}^{A}\,[x]_{B}.
  • Forma prática de construir [M]_{B}^{A}: escreva cada vetor da base B na base A (i.e., escreva os vetores de B como colunas com coordenadas em A); essas colunas formam a matriz [M]_{B}^{A}.
  • Observação útil para este exercício:
    • A base \alpha é a base padrão; assim coordenadas em \alpha são simplesmente as próprias coordenadas cartesianas dos vetores.
    • A base \gamma é \gamma=\{2(1,0),\,2(0,1)\}, ou seja, vetores padrão multiplicados por 2. Isso simplifica conversões envolvendo \gamma.

Passo 3

Calcular [M]_{\beta}^{\alpha}.
  • Pelo método explicado, as colunas de [M]_{\beta}^{\alpha} são as coordenadas dos vetores da base \beta expressos na base \alpha.
  • Como \alpha é a base padrão, as coordenadas dos vetores de \beta na base \alpha são os próprios vetores:
    • primeiro vetor de \beta: (-1,1),
    • segundo vetor de \beta: (1,1).
  • Logo:
[M]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação e verificação rápida de [M]_{\beta}^{\alpha}.
  • Se [x]_{\beta}=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix}, então [M]_{\beta}^{\alpha}\,[x]_{\beta} =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},que é exatamente a combinação linear na base padrão — corresponde ao vetor em coordenadas \alpha. Isso confirma que a construção está correta.]

Passo 5

Calcular [M]_{\gamma}^{\beta}.
  • Pela regra: colunas de [M]_{\gamma}^{\beta} são as coordenadas dos vetores de \gamma expressos na base \beta.
  • Os vetores de \gamma são g_1=(2,0) e g_2=(0,2). Queremos coeficientes (a,b) tais que a(-1,1)+b(1,1)=(2,0)e depois para (0,2).
  • Resolver para g_1=(2,0):
    • Sistema: -a+b=2 e a+b=0.
    • Da segunda equação a=-b. Substituindo na primeira: -(-b)+b=2\Rightarrow 2b=2\Rightarrow b=1\Rightarrow a=-1.
    • Logo coordenadas de g_1 em \beta são \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Resolver para g_2=(0,2):
    • Sistema: -a+b=0 e a+b=2.
    • Da primeira b=a. Substituindo na segunda: a+a=2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1.
    • Logo coordenadas de g_2 em \beta são \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Assim:
[M]_{\gamma}^{\beta}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Observação sobre [M]_{\gamma}^{\beta} igual a [M]_{\beta}^{\alpha}.
  • Nota curiosa: numericamente [M]_{\gamma}^{\beta} saiu igual a [M]_{\beta}^{\alpha}. Isso aconteceu por como as bases estão posicionadas geometricamente neste caso; não é uma coincidência impossível, mas só uma consequência dos vetores dados.

Passo 7

Calcular [M]_{\alpha}^{\gamma}.
  • Agora as colunas de [M]_{\alpha}^{\gamma} são as coordenadas dos vetores da base \alpha (os vetores padrão e_1=(1,0) e e_2=(0,1)) expressos na base \gamma.
  • Como \gamma tem vetores g_1=(2,0)=2e_1 e g_2=(0,2)=2e_2, temos:
    • e_1 = \tfrac{1}{2}g_1 + 0\cdot g_2 → coordenadas \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
    • e_2 = 0\cdot g_1 + \tfrac{1}{2}g_2 → coordenadas \begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Logo:
[M]_{\alpha}^{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Parte (b): coordenadas de v=(3,-2) na base \alpha.
  • Como \alpha é a base padrão, as coordenadas são simplesmente as componentes:
[v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 9

Parte (b): coordenadas de v na base \beta.
  • Queremos [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} tal que c_1(-1,1)+c_2(1,1) = (3,-2).
  • Isso dá o sistema linear: -c_1 + c_2 = 3,\qquad c_1 + c_2 = -2.
  • Resolver: da segunda c_1 = -2 - c_2. Substituindo na primeira: -(-2-c_2)+c_2 = 3 \Rightarrow 2 + c_2 + c_2 = 3 \Rightarrow 2c_2 = 1 \Rightarrow c_2 = \tfrac{1}{2}.Então c_1 = -2 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{5}{2}.
  • Assim:
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Parte (b): coordenadas de v na base \gamma.
  • Procuramos [v]_{\gamma}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} tal que a(2,0)+b(0,2)=(3,-2).
  • Isso dá 2a=3 e 2b=-2. Logo a=\tfrac{3}{2} e b=-1.
  • Portanto:
[v]_{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 11

Parte (c): dado [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix}, encontrar coordenadas nas outras bases.
  • Primeiro obtenha o vetor na base padrão (coordenadas \alpha). Podemos usar a relação [v]_{\alpha} = [M]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\beta}.
  • Já temos [M]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} e [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix}. Então: [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix} =4\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  • Agora coordenadas em \gamma: resolver a(2,0)+b(0,2)=(-4,4), i.e. 2a=-4, 2b=4. Assim a=-2, b=2.
  • Logo:
[v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad [v]_{\gamma}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) [M]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad [M]_{\gamma}^{\beta}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad [M]_{\alpha}^{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
(b) [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
[v]_{\gamma}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix}
(c) [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix} (dado), [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]4\end{pmatrix}, [v]_{\gamma}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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